Partielle Differentialgleichungen (PDGs)

Partielle Differentialgleichungen (PDGs)

• Gleichungen, die eine unbekannte Funktion von ≥ 2 Variablen und ihre Ableitungen beinhalten.
• Allgemeine Form:
  • $F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{yy},u_{xy}) = 0$
• u ist die abhängige Variable (unbekannt)
• x,y sind unabhängige Variablen

Beispiele

• $u_x + u_y = 0$
• $xu_x + yu_y = u$
• $u_t + uu_x = 0$
• $u_{tt} - c^2u_{xx} = 0$
• $u_t - ku_{xx} = 0$
• $u_{xx} + u_{yy} = 0$
• $u_{xx} + u_{yy} = f(x,y)$

Notation

• $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$, $u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, $u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$

Ordnung

• Die höchste Ableitung in der Gleichung definiert die Ordnung der PDG.

Beispiele für die Ordnung

• $u_x + u_y = 0$ (1. Ordnung)
• $u_{tt} - c^2u_{xx} = 0$ (2. Ordnung)
• $u_{xxt} + u_x = y^2$ (3. Ordnung)

Lineare PDG

• Eine PDG ist linear, wenn F eine lineare Funktion von u und seinen Ableitungen ist.

Beispiele Linearer und Nichtlinearer PDGs

Linear

• $u_x + u_y = 0$
• $xu_x + yu_y = u$
• $u_{tt} - c^2u_{xx} = 0$
• $u_t - ku_{xx} = 0$
• $u_{xx} + u_{yy} = 0$
• $u_{xx} + u_{yy} = f(x,y)$

Nichtlinear

• $u_t + uu_x = 0$
• $u_x^2 + u_y^2 = 1$

Superpositionsprinzip

• Wenn $u_1$ und $u_2$ Lösungen einer homogenen linearen PDG sind, dann ist $c_1u_1 + c_2u_2$ auch eine Lösung für beliebige Konstanten $c_1$ und $c_2$.

Anfangs- und Randbedingungen

• Um eine eindeutige Lösung für eine PDG zu erhalten, müssen Anfangs- und Randbedingungen festgelegt werden.
• Anfangsbedingungen: spezifizieren den Wert der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen zu einem Anfangszeitpunkt.
• Randbedingungen: spezifizieren den Wert der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen auf dem Rand des Definitionsbereichs.

Beispiele für Anfangs- und Randbedingungen

• $u_{tt} = c^2u_{xx}$, $0 < x < L$, $t > 0$
  • $u(x,0) = f(x)$, $u_t(x,0) = g(x)$, $0 \leq x \leq L$
  • $u(0,t) = 0$, $u(L,t) = 0$, $t > 0$
• $u_t = ku_{xx}$, $0 < x < L$, $t > 0$
  • $u(x,0) = f(x)$, $0 \leq x \leq L$
  • $u(0,t) = T_1$, $u(L,t) = T_2$, $t > 0$
• $u_{xx} + u_{yy} = 0$, $0 < x < a$, $0 < y < b$
  • $u(x,0) = f(x)$, $u(x,b) = g(x)$, $0 \leq x \leq a$
  • $u(0,y) = h(y)$, $u(a,y) = l(y)$, $0 \leq y \leq b$

Wohlgestelltes Problem

• Ein PDG-Problem ist wohlgestellt, wenn:
  • Eine Lösung existiert.
  • Die Lösung eindeutig ist.
  • Die Lösung stetig von den Anfangs- und Randdaten abhängt.

Lineare PDGs 2. Ordnung

• $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G$
  • wobei $A, B, C, D, E, F, G$ Funktionen von $x$ und $y$ sind.

Klassifikationen

• $B^2 - AC < 0$ : Elliptisch (z.B. Laplace-Gleichung, Poisson-Gleichung)
• $B^2 - AC = 0$ : Parabolisch (z.B. Wärmeleitungsgleichung)
• $B^2 - AC > 0$ : Hyperbolisch (z.B. Wellengleichung)
• Hinweis:* Die Klassifizierung kann sich von Punkt zu Punkt ändern, wenn A, B, C Funktionen von x und y sind.

Beispiele

• $u_{xx} + u_{yy} = 0$ : Elliptisch, $A = 1$, $B = 0$, $C = 1$, $B^2 - AC = -1 < 0$
• $u_t = ku_{xx}$ : Parabolisch, $-ku_{xx} + u_t = 0$, $A = -k$, $B = 0$, $C = 0$, $B^2 - AC = 0$
• $u_{tt} = c^2u_{xx}$ : Hyperbolisch, $u_{tt} - c^2u_{xx} = 0$, $A = -c^2$, $B = 0$, $C = 1$, $B^2 - AC = c^2 > 0$