Partielle Differentialgleichungen: Einführung

Partielle Differentialgleichungen: Einführung

• Eine partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Differentialgleichung, die eine unbekannte Funktion mit zwei oder mehr Variablen sowie bestimmte partielle Ableitungen dieser Funktion beinhaltet.
• Die allgemeine Form einer PDE lautet: $F(x, y, z,..., t, u, u_x, u_y,..., u_{xx}, u_{yy},..., u_{xy},...) = 0$, wobei $u = u(x, y, z,..., t)$ und $F$ eine Funktion der unabhängigen Variablen, der unbekannten Funktion $u$ und deren partiellen Ableitungen ist.

Beispiele für partielle Differentialgleichungen

• Wellengleichung: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
• Wärmeleitungsgleichung: $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
• Laplace-Gleichung: $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$
• Poisson-Gleichung: $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x, y)$

Ordnung einer PDE

• Die Ordnung einer PDE entspricht der höchsten Ableitung, die in der Gleichung vorkommt.
• Erste Ordnung: $\frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0$
• Zweite Ordnung: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Lineare und nichtlineare PDEs

• Eine PDE wird als linear bezeichnet, wenn die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen linear in der Gleichung vorkommen. Andernfalls ist sie nichtlinear.
• Lineare PDE: $a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + c(x, y) u = f(x, y)$
• Nichtlineare PDE: $u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

Homogene und inhomogene PDEs

• Eine lineare PDE ist homogen, wenn die Gleichung erfüllt ist, wenn die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen auf Null gesetzt werden. Andernfalls ist sie inhomogen.
• Homogene PDE: $a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + c(x, y) u = 0$
• Inhomogene PDE: $a(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + b(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + c(x, y) u = f(x, y)$, wobei $f(x, y) \neq 0$

Lineare PDEs zweiter Ordnung in zwei Variablen

Allgemeine Form

• Die allgemeine Form ist gegeben durch: $A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + E(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + F(x, y) u = G(x, y)$

Klassifizierung

• Die Diskriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ wird zur Klassifizierung der PDE verwendet:
• Hyperbolisch: $\Delta > 0$
• Parabolisch: $\Delta = 0$
• Elliptisch: $\Delta < 0$

Beispiele

• Wellengleichung: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (Hyperbolisch)
• Wärmeleitungsgleichung: $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (Parabolisch)
• Laplace-Gleichung: $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ (Elliptisch)

Einführung in die Strahlung

• Als Strahlung bezeichnet man die Energie, die sich in Form von Teilchen oder Wellen ausbreitet.
• Sie ist natürlich oder künstlich erzeugt.
• Beispiele sind UV-Licht, Mikrowellen, Röntgenstrahlen und Radioaktivität.

Arten von Strahlung

• Nichtionisierende Strahlung:

  • Besitzt eine geringere Energie und ist nicht stark genug, um Elektronen aus Atomen oder Molekülen zu entfernen.
  • Beispiele: Radiowellen, Mikrowellen, sichtbares Licht.

• Ionisierende Strahlung:

  • Besitzt eine höhere Energie und kann Elektronen aus Atomen oder Molekülen entfernen, wodurch Ionen entstehen.
  • Kann lebendes Gewebe schädigen.
  • Beispiele: Röntgenstrahlen, Gammastrahlen, Alpha- und Betateilchen.

Radioaktiver Zerfall

• Instabile Atomkerne setzen Energie und Teilchen frei, um stabiler zu werden.
• Arten des Zerfalls:
  • Alpha-Zerfall: Emission eines Alpha-Teilchens (2 Protonen und 2 Neutronen).
  • Beta-Zerfall: Emission eines Beta-Teilchens (Elektron oder Positron).
  • Gamma-Zerfall: Emission eines Gamma-Strahls (hochenergetisches Photon).
• Die Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit die Hälfte der radioaktiven Atome in einer Probe zerfällt.

Maßeinheiten

• Aktivität: Becquerel (Bq) - Anzahl der Zerfälle pro Sekunde.
• Energiedosis: Gray (Gy) - absorbierte Energie pro Masseneinheit.
• Äquivalentdosis: Sievert (Sv) - Energiedosis, gewichtet nach der Wirksamkeit des jeweiligen Strahlungstyps.

Strahlungsquellen

• Natürliche Quellen:
  • Kosmische Strahlung (aus dem Weltraum).
  • Terrestrische Strahlung (aus Boden, Gesteinen und Wasser).
  • Interne Strahlung (aus radioaktiven Materialien in unserem Körper).
  • Radon-Gas (aus dem Zerfall von Uran im Boden).
• Künstliche Quellen:
  • Medizinische Röntgenaufnahmen und Strahlentherapie.
  • Kernkraftwerke.
  • Industrielle Verwendung radioaktiver Materialien.
  • Konsumgüter (z. B. Rauchmelder).

Auswirkungen von Strahlung

• Akute Auswirkungen (hohe Dosen):
  • Strahlenkrankheit (Übelkeit, Erbrechen, Müdigkeit).
  • Hautverbrennungen.
  • Schädigung von Knochenmark und inneren Organen.
  • Tod.
• Chronische Auswirkungen (niedrige Dosen):
  • Erhöhtes Krebsrisiko.
  • Genetische Mutationen.
  • Katarakte.

Strahlenschutz

• Zeit: Minimierung der Zeit in der Nähe von Strahlungsquellen.
• Abstand: Maximierung des Abstands zu Strahlungsquellen.
• Abschirmung: Verwendung geeigneter Abschirmmaterialien zur Absorption von Strahlung.

Messung von Strahlung

• Geigerzähler:
  • Erkennt ionisierende Strahlung und besteht aus einer mit Gas gefüllten Röhre, die leitfähig wird, wenn Strahlung sie durchdringt.
• Dosimeter:
  • Ein Gerät zur Messung der Strahlendosis.
  • Wird von Personen getragen, die mit Strahlung arbeiten, um ihre Exposition zu überwachen.

Fun-Fakten zur Strahlung

• Bananen:
  • Enthalten das natürlich vorkommende radioaktive Isotop Kalium-40 ($^{40}K$).
  • Strahlungsdosis durch den Verzehr von Bananen minimal und nicht schädlich.
  • Der Begriff "Banana Equivalent Dose" (BED) wird manchmal verwendet, um Strahlungsdosen zu vergleichen.
• Paranüsse:
  • Enthalten hohe Mengen an Radium, das sie aus dem Boden aufnehmen.
  • Gelten als das radioaktivste Lebensmittel.
  • Strahlungsdosis durch den Verzehr von Paranüssen immer noch relativ gering.

Vorlesung 12: 14. Oktober

• Die Vorlesung befasst sich mit Beweisstrategien, Induktion und Graphentheorie.

Beweisstrategien

• Zum Finden einer Lösung für eine homogene Gleichung: $a_n = A a_{n-1} + B a_{n-2}$, wird $a_n = r^n$ angenommen und nach r aufgelöst.
• Die Lösungen sind $r_1, r_2 = \frac{A \pm \sqrt{A^2 + 4B}}{2}$.
• Wenn $r_1 \neq r_2$, dann ist $a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$.
• Wenn $r_1 = r_2 = r$, dann ist $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$.
• Verwende Basisfälle, um nach $c_1, c_2$ aufzulösen.
• Zum Finden einer Lösung für eine nichthomogene Gleichung: $a_n = A a_{n-1} + B a_{n-2} + f(n)$, wird:
  • Zuerst die homogene Gleichung gelöst ($a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$).
  • Daraufhin wird eine Lösung basierend auf f(n) erraten.
  • Wenn $f(n)$ ein Polynom vom Grad $d$ ist, wird ein Polynom vom Grad $d$ erraten.
  • Wenn $f(n) = \beta^n$ ist, wird $c \beta^n$ erraten.
  • Wenn $f(n) = \beta^n$ (Polynom vom Grad $d$) ist, wird $\beta^n$ (Polynom vom Grad $d$) erraten.
  • Wenn die Vermutung eine Lösung für die homogene Gleichung ist, wird mit n multipliziert.
  • Nach Konstanten aufgelöst.
  • Die Allgemeine Lösung = Homogene Lösung + Spezielle Lösung.
  • Und abschließend die Basisfälle verwendet, um nach $c_1, c_2$ aufzulösen.

Induktion

• Schritte:
  • Basisfall(e)
  • Induktive Hypothese
  • Induktionsschritt

Beispiel

• Beweis, dass $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ durch Induktion.

  • Basisfall: $n = 1$, $\sum_{i=1}^{1} i = 1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1$.
  • Induktive Hypothese: Annehmen, dass $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$ für ein $k \geq 1$.
  • Induktionsschritt: Beweisen, dass $\sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

• Daher gilt $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ für alle $n \geq 1$.

Graphentheorie

• Definitionen:
  • Ein Graph $G = (V, E)$ ist eine Ansammlung von Knotenpunkten $V$ und eine Ansammlung von Kanten $E$.
  • Eine Kante ist ein Paar von Knotenpunkten.
  • Ein gerichteter Graph ist ein Graph, in dem die Kanten geordnete Paare sind.
  • Der Grad eines Knotenpunkts ist die Anzahl der Kanten, die mit ihm verbunden sind.
  • Ein Pfad ist eine Folge von Knotenpunkten, die durch Kanten verbunden sind.
  • Ein Zyklus ist ein Pfad, der am gleichen Knotenpunkt beginnt und endet.
  • Ein zusammenhängender Graph ist ein Graph, in dem es einen Pfad zwischen zwei beliebigen Knotenpunkten gibt.
  • Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Zyklen.
  • Ein bipartiter Graph ist ein Graph, in dem die Knotenpunkte in zwei Mengen unterteilt werden können, so dass keine Kante zwei Knotenpunkte in derselben Menge verbindet.