Основи алгебри: змінні та операції

• Алгебра вивчає властивості операцій і відношень, а також структури, які на їх основі створюються.
• Алгебра є узагальненням арифметики, де використовуються символи для представлення чисел у формулах і рівняннях.

Основні поняття алгебри

• Змінна - символ, що представляє число або величину, яка може змінюватися.
• Вираз - комбінація чисел, змінних і операцій.
• Рівняння - твердження про рівність двох виразів, розділених знаком рівності (=).
• Тотожність - рівняння, яке виконується для всіх значень змінних.
• Нерівність показує відношення порядку між двома виразами (>, <, ≥, ≤).

Алгебраїчні операції

• Додавання (+) об'єднує числа або вирази в одне ціле.
• Віднімання (-) знаходить різницю між числами або виразами.
• Множення (× або •) знаходить добуток чисел або виразів.
• Ділення (/ або ÷) визначає частку від ділення.
• Піднесення до степеня множить число саме на себе певну кількість разів.
• Добування кореня знаходить число, яке при піднесенні до степеня дає задане число.

Алгебраїчні вирази

• Одночлен є добутком коефіцієнта і змінних у цілих невід'ємних степенях.
• Многочлен - сума одночленів.
• Раціональний вираз подається відношенням двох многочленів.
• Ірраціональний вираз містить корінь із змінної.

Рівняння

• Лінійне рівняння містить змінну тільки в першому степені.
• Квадратне рівняння має вигляд ax^2 + bx + c = 0, де a ≠ 0.
• Кубічне рівняння має вигляд ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, де a ≠ 0.
• Розв'язок рівняння перетворює його в істинну рівність.
• Системи рівнянь - набір рівнянь, які розглядаються разом.

Нерівності

• Лінійна нерівність містить змінну тільки в першому степені.
• Квадратна нерівність може мати вигляд ax^2 + bx + c > 0 (або <, ≥, ≤), де a ≠ 0.
• Розв'язок нерівності - набір значень змінної, які задовольняють нерівність.
• Системи нерівностей - набір нерівностей, які розглядаються разом.

Функції

• Функція встановлює відповідність між елементами двох множин (області визначення та області значень).
• Графік функції - множина точок на координатній площині, де абсциси - аргументи, а ординати - значення функції.
• Лінійна функція має графік у вигляді прямої лінії (y = kx + b).
• Квадратична функція має вигляд y = ax^2 + bx + c, де a ≠ 0; графік - парабола.

Матриці та визначники

• Матриця - таблиця чисел, розташованих у рядках і стовпцях.
• Визначник обчислюється для квадратної матриці.
• Операції над матрицями: додавання, віднімання, множення матриць, множення матриці на число.
• Обернена матриця при множенні на задану матрицю дає одиничну матрицю.
• Розв'язування систем лінійних рівнянь реалізується за допомогою матриць.

Комплексні числа

• Уявна одиниця i визначається як i^2 = -1.
• Комплексне число має вигляд a + bi, де a і b - дійсні числа, i - уявна одиниця.
• Дії над комплексними числами: додавання, віднімання, множення, ділення.
• Комплексна площина відображає комплексні числа точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).

Послідовності та ряди

• Послідовність - впорядкований набір чисел.
• Арифметична прогресія має сталу різницю між сусідніми членами.
• Геометрична прогресія має сталий множник між сусідніми членами (знаменник).
• Ряд - сума членів послідовності.
• Збіжність ряду означає, що сума членів прямує до скінченного значення при збільшенні кількості членів.

Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

• Випадкова подія може відбутися або не відбутися в результаті експерименту.
• Ймовірність події - числова міра можливості її настання.
• Математичне сподівання - середнє значення випадкової величини, зважене за ймовірностями.
• Дисперсія - міра розсіювання значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.
• Статистична вибірка - набір даних, отриманих в результаті спостереження або експерименту.
• Оцінка параметрів - наближене значення параметрів генеральної сукупності, отримане на основі статистичної вибірки.

Алгебра вивчає операції та структури на їх основі. Основні поняття: змінні, вирази, рівняння, тотожності та нерівності. Алгебраїчні операції включають додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня.