Os Doze Nervos Cranianos

Os Doze Nervos Cranianos

• Existem 12 nervos cranianos, cada um com funções motoras e/ou sensoriais específicas.

• Cada nervo craniano é classificado como sensorial, motor ou ambos, dependendo das funções que desempenha.

Tabela dos Nervos Cranianos

• I Olfatório (Sensorial): Responsável pelo olfato.

• II Óptico (Sensorial): Responsável pela visão.

• III Oculomotor (Motor): Controla o movimento dos olhos e a constrição da pupila.

• IV Troclear (Motor): Controla o movimento dos olhos.

• V Trigêmeo (Ambos): Envolvido na mastigação e na somatossensação (tato, dor) da face e da boca.

• VI Abducente (Motor): Controla o movimento dos olhos.

• VII Facial (Ambos): Controla o movimento facial, a secreção de lágrimas e saliva, e o paladar.

• VIII Auditivo (Sensorial): Responsável pela audição e equilíbrio.

• IX Glossofaríngeo (Ambos): Controla o movimento da garganta, a secreção de saliva e o paladar; também fornece somatossensação (tato, dor) da garganta.

• X Vago (Ambos): Controla o movimento/sensação de órgãos como coração e pulmões.

• XI Acessório (Motor): Controla o movimento do pescoço e dos ombros.

• XII Hipoglosso (Motor): Controla o movimento da língua.

Análise Matemática 1 - Ing. Edile-Arquitetura - Teste de 11 de Fevereiro de 2022 - Texto A

• Instruções do teste: Serão avaliadas apenas as respostas fornecidas na respectiva folha.

• Para questões de múltipla escolha, marque a resposta correta com um "x".

  • 1,5 pontos por resposta correta.
  • 0 pontos por resposta não dada ou errada.

• Para a parte de resolução de exercícios, será atribuída uma pontuação de 0 a 6 com base na correção e completude da resolução.

Parte A: Questões de Múltipla Escolha

1. Seja $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Então $z^6$ é:

   • As opções são: 1, -1, i, -i.

2. Seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $f(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text{se } x \neq 0 \ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}$

   • As opções sobre $f$ são: continua e derivável em 0; contínua, derivável em 0 e $f'(0) = 1$; contínua, derivável em 0 e $f'(0) = 0$; não é contínua em 0.

3. Seja $f(x) = x^3 + e^x$. A reta tangente ao gráfico de $f^{-1}(x)$ em (1, 0) é:

   • As opções são: $y = x - 1$, $y = \frac{1}{3}x$, $y = \frac{1}{4}(x - 1)$, $y = \frac{1}{3}(x - 1)$.

4. Seja $f \in C^1(\mathbb{R})$ tal que $f(2) = 3$ e $f'(2) = -1$. Então $g'(2)$ onde $g(x) = f(x^2)$:

   • As opções são: -4, -1, -2, 0.

5. A sucessão $a_n = n\sin(\frac{1}{n})$ para $n \rightarrow +\infty$:

   • As opções são: diverge a $+\infty$, oscilante, converge a 1, converge a 0.

6. Seja $f(x) = \sqrt{4 + x^2}$. O polinômio de Taylor de segundo grau de $f$ centrado em $x_0 = 0$ é:

   • As opções são: $2 + \frac{x^2}{4}$, $2 + \frac{x^2}{2}$, $2 + x^2$, $1 + \frac{x^2}{4}$.

Parte B: Resolução de Exercícios

1. Calcular o seguinte limite: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos(x) - x}{\sin(2x) - 2x}$

2. Estudar a seguinte função:

   $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$

   • Inclui domínio, sinal, interseções com os eixos, assíntotas, derivada primeira, crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, derivada segunda, concavidade e convexidade, inflexões e um gráfico qualitativo.

Multiplicação de Matrizes

• A multiplicação de matrizes envolve combinar duas matrizes para produzir uma terceira.

Definição

• Sejam A uma matriz m x n e B uma matriz n x p. O produto C = A ⋅ B é uma matriz m x p.
• O elemento cij é calculado como a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A com os elementos da j-ésima coluna de B. $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +... + a_{in}b_{nj}$, onde $i = 1,..., m$ e $j = 1,..., p$.
• O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.

Exemplo

• Seja $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$
• O produto $C = A \cdot B$ é calculado como: $C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Propriedades

• Associatividade: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C).
• Distributividade: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C e (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C.
• Não Comutatividade: A ⋅ B ≠ B ⋅ A em geral.
• Elemento Neutro: A matriz identidade In é o elemento neutro: A ⋅ In = A e Im ⋅ A = A.

Observações

• As aplicações incluem computação gráfica, física e engenharia.

Conjugado Complexo

• Para um número complexo, o conjugado complexo é obtido alterando o sinal da parte imaginária.

Definição

• Se $z = a + bi$, onde a e b são números reais, então o conjugado complexo de z é $\overline{z} = a - bi$.

• Exemplo: O conjugado complexo de $3 - 2i$ é $3 + 2i$.

Notação

• O conjugado complexo de z é frequentemente denotado como $\overline{z}$ ou $z^*$.

Propriedades

• $\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w}$
• $\overline{(z - w)} = \overline{z} - \overline{w}$
• $\overline{(zw)} = \overline{z}\overline{w}$
• $\overline{(\frac{z}{w})} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$
• $\overline{\overline{z}} = z$
• $z\overline{z} = {\mid z \mid}^2$
• $z = \overline{z}$ se e somente se z é um número real
• $\overline{z} = -\overline{z}$ se e somente se z é um número puramente imaginário

Uso como Variável

• Dado um número complexo $z = a + bi$, seu conjugado é $\overline{z} = a - bi$.
• A soma de um número complexo e seu conjugado é $z + \overline{z} = 2a$, que é um número real.
• A diferença entre um número complexo e seu conjugado é $z - \overline{z} = 2bi$, que é um número puramente imaginário.

Operações Básicas com Matrizes

Multiplicação por um Escalar

• Uma matriz A pode ser multiplicada por um número real (escalar) $c \in \mathbb{R}$. Cada elemento da matriz é multiplicado pelo escalar.

  • $cA = c \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} \ ca_{21} & ca_{22} \end{bmatrix}$

  • Exemplo: $2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Adição e Subtração de Matrizes

• Matrizes podem ser somadas ou subtraídas se tiverem o mesmo tamanho, alinhando-se elemento a elemento.

  • $A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}$

  • $A - B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{bmatrix}$

  • Exemplo: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Multiplicação de Matrizes

• Matriz A pode ser multiplicada pela matriz B se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

• Se A é uma matriz $m \times n$ e B é uma matriz $n \times p$, então a matriz produto AB é uma matriz $m \times p$.

• Exemplo: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}$

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