Optimizare: Minimizare funcții și concepte de bază

• O problemă de optimizare implică identificarea unui punct optim (minim sau maxim) al unei funcții f(x) pe un domeniu D.
• Formularea generală este min f(x) unde x aparține lui D.
• f(x) este funcția obiectiv, iar D este domeniul fezabil care conține constrângerile.

Exemple de optimizare

• Fără constrângeri: min f(x) = x² + 3x + 5 (D este întreg spațiul R).
• Cu constrângeri: min f(x) = x² + 3x + 5, cu condiția x≥0 (D este restricționat).

Noțiuni fundamentale în optimizare

• Minim local: un punct x* este minim local dacă în vecinătatea sa nu există puncte cu valori mai mici.
• Minim global: cel mai mic punct pe întreg domeniul.
• Maximele se definesc similar cu minimele.

Derivate și condiții de optimalitate

• Gradientul: ∇f = [∂f/∂x₁, ..., ∂f/∂xₙ]ᵀ
• Hessiana: matricea derivatelor parțiale de ordinul doi.
• Condiții necesare: ∇f(x) = 0 pentru un minim local.
• Condiții suficiente: Hessiana trebuie să fie pozitiv definită.

Introducere în MATLAB pentru optimizare

• MATLAB oferă funcții puternice pentru optimizare numerică.

Derivare simbolică în MATLAB

• Se folosește syms x; pentru a declara variabilele simbolice.
• Funcția diff(f, x) calculează derivata lui f în raport cu x.

Minimizare folosind fminbnd (optimizare fără constrângeri)

• Exemplu: f = @(x) x.^2 - 4*x + 5; [x_min, f_min] = fminbnd(f, -10, 10)

Programare liniară folosind linprog

• Funcția obiectiv (maximizare) se definește cu semnul minus.
• Se specifică matricea coeficienților inegalităților (A) și termenii din dreapta (b).
• Exemplu: x = linprog(c, A, b)

Optimizare neliniară cu fmincon

• Se specifică funcția, punctul inițial, limitele și constrângerile.
• Exemplu: x_min = fmincon(f, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)

Identificarea variabilelor simbolice în MATLAB

• Variabilele simbolice se utilizează pentru calcul simbolic și pot fi identificate cu Symbolic Math Toolbox.
• Se creează cu syms sau sym.

Cum identificăm variabilele simbolice existente?

• Se folosește comanda symvar(f) pentru a returna toate variabilele simbolice dintr-o expresie.

Exemple de identificare a variabilelor simbolice

• Identificarea variabilelor dintr-o funcție: syms x y z; f = x^2 + y*z + sin(x*y); vars = symvar(f); (vars va conține x, y, z).
• Dacă expresia nu conține variabile simbolice, symvar returnează o listă goală.
• Pentru a identifica prima variabilă simbolică: first_var = symvar(g, 1)

Cum verificăm dacă o variabilă este simbolică?

• Se folosește funcția isa(variabilă, 'sym').

Funcții de reprezentare grafică în MATLAB

• plot(x, y): desenează un grafic 2D.
• fplot(@funcție, interval): reprezentare automată a unei funcții.
• ezplot(f, interval): (vechi, înlocuit cu fplot).
• linspace(-2, 6, 100): generează 100 de valori între -2 și 6.

Reprezentarea grafică a funcțiilor de două variabile (3D)

• mesh(X, Y, Z): reprezentare 3D cu plasa de contur.
• surf(X, Y, Z): reprezentare 3D cu suprafață colorată.
• contour(X, Y, Z): linii de contur 2D pentru o funcție 3D.
• fmesh(@funcție, intervalX, intervalY): reprezentare automată a unei funcții.

Comenzi esențiale pentru grafice

• plot(x, y): grafic 2D pentru funcții de o variabilă.
• fplot(@funcție, interval): reprezentare automată a unei funcții 2D.
• mesh(X, Y, Z): reprezentare 3D tip "plasă".
• surf(X, Y, Z): reprezentare 3D colorată.
• fmesh(@funcție, intervalX, intervaly): reprezentare 3D automată.
• contour(X, Y, Z, niveluri): linii de contur ale unei funcții 3D.

Obiecte simbolice

• Un obiect simbolic este o variabilă MATLAB care nu are o valoare numerică imediată, ci e interpretată ca o expresie matematică.

Exemple de obiecte simbolice

• Variabile simbolice: syms x
• Expresii simbolice: f = x^2 + y
• Funcții simbolice: f(x) = sin(x) + x^2
• Ecuații simbolice: solve(x^2 - 4 == 0, x)
• Matrice simbolice: [x, y; y, x^2]

Crearea variabilelor simbolice

• Folosind syms: syms x y z
• Folosind sym: x = sym('x'); y = sym('y');
• syms creează variabile multiple, iar sym creează variabile individual.

Crearea expresiilor simbolice

• După crearea variabilelor, se pot defini expresii matematice.
• Exemplu: syms x y; f = x^2 + 3*x*y - y^2 + 5

Operatori și funcții simbolice

• MATLAB permite operații simbolice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, putere).

Manipularea expresiilor simbolice

• MATLAB oferă funcții pentru simplificare și expansiune:
  • Expansiune și simplificare: syms x; f = (x + 1)^2; expanded_f = expand(f); simplified_f = simplify(expanded_f);

Derivarea și integrarea simbolică

• Se folosesc funcțiile diff() și int().
• Exemplu derivare: syms x; f = x^3 + 2*x^2 - 5*x + 4; df = diff(f, x);
• Exemplu integrare: syms x; f = x^2 + 3x + 2; int_f = int(f, x);

Rezolvarea ecuațiilor simbolice

• Se folosește funcția solve().
• Exemplu: syms x; eq = x^2 - 4*x + 3 == 0; sol = solve(eq, x);

Funcții MATLAB esențiale

• syms x y: Creează variabile simbolice.
• sym('x'): Creează o variabilă simbolică (alternativ).
• expand(f): Expandează o expresie matematică.
• simplify(f): Simplifică o expresie matematică.
• subs(f, x, val): Înlocuiește o variabilă cu o valoare dată.
• diff(f, x): Derivează f(x) față de x.
• int(f, x): Integrează f(x) față de x.
• solve(eq, x): Rezolvă ecuația simbolică.
• Variabilele simbolice permit lucrul cu ecuații și expresii fără a folosi valori numerice.

Conversie între simbolic și numeric în MATLAB

• Se folosește Symbolic Math Toolbox.
• Conversie din numeric în simbolic: sym(număr)
• Conversie din simbolic în numeric: double(expresie)
• Aproximare numerică de mare precizie: vpa(expresie, precizie)