Operations with Fractions

Study Notes

Дробь и ее операции

Дробь — это числовое понятие, которое используется для представления рациональных величин, то есть тех, которые могут быть выражены через целое следом за некоторой степенью дроби. Это может быть как простой фракционный коэффициент, например (\frac{a}{b}), так и более сложное выражение с множителями или делителями, к примеру (a\cdot b^{-n} = \dfrac{a}{b^n}). В общем случае, дробь является результатом деления одного целого числа на другое.

В этом разделе мы рассмотрим основные математические операции над дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Также мы обсудим методы преобразования дробей в десятичные числа.

Сложение дробей

Сложение дробей осуществляется путем добавления их знаменателей и соответствующих частей числителей. Например, сумма [\frac{7}{8}+\frac{5}{9}=\frac{(7+5)\cdot(8+9)}{36}=\frac{22}{72}.]

Вычитание дробей

Операция вычитания также производится по правилам алгебры, но вместе с тем учитываются знаки (+) и (-) перед каждой из них. То есть, если действительная часть второго члена является отрицательной, а комплексная - положительной или отрицательной, то они отнимаются без знака минус; когда обе части являются положительными или обоими образом ведущими свои этапы, тогда действительная составляет первую часть, а комплексная - вторую.

Умножение дробей

Умножение дробей производится повнением числителей и знаменателей, что можно видеть из формул [ \begin{align*} \frac{a_1}{b_1} \times \frac{a_2}{b_2} &= \frac{a_1 \times a_2}{b_1 \times b_2},\ &= \frac{\left(a_1 + b_k\right)}{\left(b_1 + a_j\right)}, \end{align*}] где (a_i) и (b_i) - любые неотрицательные целые числа.

Деление дробей

При делении дробей мы часто используем свойство противоположности, что позволяет перестроиться в умножение. Например, чтобы найти частное [\frac{4}{5} : \frac{2}{5},] можно перейти к делению (4:2,) что даст [\frac{4}{2} : \frac{2}{2}=2:\mathbb{I}_1.] После этого мы получим [2 \div 2= \mathbb{I}1 \div 2=\mathbb{I}{-1}.] Таким образом, получается [ \left(\frac{4}{5}: \frac{2}{5}\right)= 2.]

Преобразование дробей в десятичные

Также мы должны учитывать, что дроби могут быть представлены как десятичные числа. Например, [\frac{1}{3}=0.33...] и т. п.. Операции над такими числами могут быть выполнены по правилам работы с десятичными числами.

Выше были предложены базовые операции над дробями. Однако, в реальном использовании эти операции часто требуют особого внимания из-за возможных ошибок, связанных с расположением делителя и его знаком.

Description

Learn about basic mathematical operations with fractions, including addition, subtraction, multiplication, division, and conversion to decimal numbers. Understand how to perform these operations and handle potential pitfalls associated with fractions in arithmetic calculations.