Operasi Polinomial: Penambahan, Pengurangan, dan Perkalian

Polynomial Operations

Addition and Subtraction

• To add or subtract polynomials, combine like terms (terms with the same variable and exponent)
• Add or subtract corresponding coefficients (numbers in front of variables)
• Example: (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x - 3) = 3x^2 + x - 4

Multiplication

• To multiply polynomials, multiply each term in one polynomial by each term in the other polynomial
• Use the distributive property to expand the product
• Combine like terms
• Example: (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3

Polynomial Factorization

Factoring

• Factoring is the process of expressing a polynomial as a product of simpler polynomials
• Common factors: greatest common divisor (GCD) of all terms
• Difference of squares: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
• Sum and difference formulas: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
• Example: x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Polynomial Division

Long Division

• Long division is a method for dividing one polynomial by another
• Divide the dividend (polynomial being divided) by the divisor (polynomial by which we are dividing)
• Write the quotient (result of division) and remainder (leftover amount)
• Example: divide x^2 + 3x - 2 by x - 1
  1. Divide the leading term of the dividend by the leading term of the divisor: x^2 ÷ x = x
  2. Multiply the divisor by the result and subtract: x^2 - x^2 = 0, remainder is 3x - 2
  3. Repeat steps 1-2 with the remainder: 3x ÷ x = 3, 3x - 3x = 0, remainder is -2
  4. Write the quotient and remainder: x + 3 - 2/x - 1

Remainder Theorem

• If a polynomial f(x) is divided by x - a, the remainder is f(a)
• The remainder theorem can be used to evaluate a polynomial at a specific point
• Example: if f(x) = x^2 + 3x - 2, find f(2)
  • Divide f(x) by x - 2: quotient is x + 5, remainder is 8
  • f(2) = 8

Operasi Polinomial

• Untuk menambah atau mengurangi polinomial, gabungkan suku yang serupa (suku dengan variabel dan eksponen yang sama)
• Tambah atau kurangi koefisien (angka di depan variabel) yang sesuai
• Contoh: (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x - 3) = 3x^2 + x - 4

Perkalian Polinomial

• Untuk mengalikan polinomial, kalikan setiap suku dalam satu polinomial dengan setiap suku dalam polinomial lainnya
• Gunakan sifat distributif untuk memperluas hasil perkalian
• Gabungkan suku yang serupa
• Contoh: (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3

Faktorisasi Polinomial

Faktorisasi

• Faktorisasi adalah proses mengekspresikan polinomial sebagai produk polinomial yang lebih sederhana
• Faktor umum: faktor terbesar dari semua suku
• Perbedaan kuadrat: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
• Rumus jumlah dan perbedaan: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
• Contoh: x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Pembagian Polinomial

Pembagian Panjang

• Pembagian panjang adalah metode untuk membagi satu polinomial dengan yang lain
• Bagi dividend (polinomial yang dibagi) dengan divisor (polinomial dengan yang kita bagi)
• Tuliskan hasil bagi (hasil pembagian) dan sisa (jumlah yang tersisa)
• Contoh: bagi x^2 + 3x - 2 dengan x - 1

Teorema Sisa

• Jika suatu polinomial f(x) dibagi dengan x - a, maka sisa adalah f(a)
• Teorema sisa dapat digunakan untuk mengevaluasi suatu polinomial pada titik tertentu
• Contoh: jika f(x) = x^2 + 3x - 2, maka f(2) = ?
• Bagi f(x) dengan x - 2: hasil bagi adalah x + 5, sisa adalah 8
• f(2) = 8