Operaciones con Vectores

Vector Operations

• Scalar Multiplication: multiplying a vector by a number, results in a vector in the same or opposite direction
• Vector Addition: adding two or more vectors, results in a new vector
• Vector Subtraction: subtracting one vector from another, results in a new vector

Vector Properties

• Commutative Property: the order of vectors in an operation does not change the result
• Associative Property: the order in which vectors are grouped in an operation does not change the result
• Distributive Property: a scalar can be distributed to each component of a vector

Matrices

• Matrix: a rectangular array of numbers, symbols, or expressions
• Matrix Operations:
  • Matrix Addition: adding corresponding elements of two matrices
  • Matrix Multiplication: multiplying two matrices, resulting in a new matrix
  • Scalar Multiplication: multiplying a matrix by a number

Linear Independence and Span

• Linear Independence: a set of vectors is said to be linearly independent if none of the vectors can be expressed as a linear combination of the others
• Span: the set of all linear combinations of a set of vectors

Linear Transformations

• Linear Transformation: a function between vector spaces that preserves vector operations
• Kernel: the set of all vectors that are mapped to the zero vector
• Image: the set of all vectors that can be output by the linear transformation

Determinants

• Determinant: a scalar value that can be used to describe the properties of a matrix
• Properties of Determinants:
  • Multiplicativity: the determinant of a product of matrices is the product of their determinants
  • Additivity: the determinant of a sum of matrices is the sum of their determinants

Eigenvalues and Eigenvectors

• Eigenvalue: a scalar that represents how a linear transformation changes a vector
• Eigenvector: a non-zero vector that, when transformed, results in a scaled version of itself
• Eigen Decomposition: a way of representing a matrix as a product of three matrices, using eigenvalues and eigenvectors

Operaciones con Vectores

• La Multiplicación Escalar de un vector por un número da como resultado un vector en la misma o dirección opuesta.
• La Adición de Vectores es la suma de dos o más vectores, lo que da como resultado un nuevo vector.
• La Sustracción de Vectores es la resta de un vector de otro, lo que da como resultado un nuevo vector.

Propiedades de Vectores

• La Propiedad Conmutativa establece que el orden de los vectores en una operación no cambia el resultado.
• La Propiedad Asociativa establece que el orden en que se agrupan los vectores en una operación no cambia el resultado.
• La Propiedad Distributiva establece que un escalar se puede distribuir a cada componente de un vector.

Matrices

• Una Matriz es una matriz rectangular de números, símbolos o expresiones.
• Operaciones con Matrices:
  • Adición de Matrices: la suma de elementos correspondientes de dos matrices.
  • Multiplicación de Matrices: la multiplicación de dos matrices, lo que da como resultado una nueva matriz.
  • Multiplicación Escalar: la multiplicación de una matriz por un número.

Independencia Lineal y Span

• La Independencia Lineal se verifica cuando un conjunto de vectores no puede ser expresado como una combinación lineal de los demás.
• El Span es el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores.

Transformaciones Lineales

• Una Transformación Lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva las operaciones vectoriales.
• El Núcleo es el conjunto de todos los vectores que se mapean al vector cero.
• La Imagen es el conjunto de todos los vectores que pueden ser salida por la transformación lineal.

Determinantes

• Un Determinante es un valor escalar que se puede utilizar para describir las propiedades de una matriz.
• Propiedades de los Determinantes:
  • Multiplicatividad: el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes.
  • Aditividad: el determinante de una suma de matrices es la suma de sus determinantes.

Valores y Vectores Propios

• Un Valor Eigen es un escalar que representa cómo una transformación lineal cambia un vector.
• Un Vector Eigen es un vector no nulo que, cuando se transforma, da como resultado una versión escalada de sí mismo.
• La Descomposición Eigen es una forma de representar una matriz como un producto de tres matrices, utilizando valores y vectores propios.