Operaciones con Matrices

Study Notes

Matrix Operations

Matrix Addition

Two matrices can be added if they have the same dimensions (same number of rows and columns)
Matrix addition is commutative: A + B = B + A
Matrix addition is associative: (A + B) + C = A + (B + C)
To add two matrices, add corresponding elements: C[i, j] = A[i, j] + B[i, j]

Matrix Multiplication

Two matrices can be multiplied if the number of columns in the first matrix equals the number of rows in the second matrix
Matrix multiplication is not commutative: A × B ≠ B × A
Matrix multiplication is associative: (A × B) × C = A × (B × C)
To multiply two matrices, multiply rows of the first matrix with columns of the second matrix: C[i, j] = Σ(A[i, k] × B[k, j])

Determinants

The determinant of a matrix is a scalar value that can be used to determine the solvability of a system of linear equations
The determinant of a matrix A is denoted as |A| or det(A)
A matrix with a non-zero determinant has an inverse
The determinant of a matrix can be calculated using various methods, including:
- Expansion along the first row or column
- Using cofactors
- Using the Leibniz formula

Eigenvalues and Eigenvectors

An eigenvector of a matrix A is a non-zero vector v that, when transformed by A, results in a scaled version of itself: Av = λv
An eigenvalue of a matrix A is a scalar λ that corresponds to an eigenvector v
Eigenvalues can be used to diagonalize a matrix, which is useful for various applications, including Markov chains and image compression
The characteristic equation of a matrix A is |A - λI| = 0, where I is the identity matrix

Matrix Transformations

A matrix transformation is a function that takes a vector as input and outputs a transformed vector
Matrix transformations can be used to perform various operations, including:
- Rotation
- Scaling
- Reflection
- Projection
A matrix transformation can be represented as a product of simpler transformations
The inverse of a matrix transformation can be used to reverse the transformation

Operaciones con Matrices

Adición de Matrices

Dos matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones (misma cantidad de filas y columnas)
La adición de matrices es conmutativa: A + B = B + A
La adición de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Para sumar dos matrices, se suman elementos correspondientes: C[i, j] = A[i, j] + B[i, j]

Multiplicación de Matrices

Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz
La multiplicación de matrices no es conmutativa: A × B ≠ B × A
La multiplicación de matrices es asociativa: (A × B) × C = A × (B × C)
Para multiplicar dos matrices, se multiplican filas de la primera matriz con columnas de la segunda matriz: C[i, j] = Σ(A[i, k] × B[k, j])

Determinantes

El determinante de una matriz es un valor escalar que se puede utilizar para determinar la solubilidad de un sistema de ecuaciones lineales
El determinante de una matriz A se denota como |A| o det(A)
Una matriz con un determinante no nulo tiene una inversa
El determinante de una matriz se puede calcular utilizando varios métodos, incluyendo:
- Expansión along the primera fila o columna
- Uso de cofactores
- Uso de la fórmula de Leibniz

Autovalores y Autovectores

Un autovector de una matriz A es un vector no nulo v que, cuando se transforma por A, resulta en una versión escalada de sí mismo: Av = λv
Un autovalor de una matriz A es un escalar λ que corresponde a un autovector v
Los autovalores se pueden utilizar para diagonalizar una matriz, lo que es útil para various aplicaciones, incluyendo cadenas de Markov y compresión de imágenes
La ecuación característica de una matriz A es |A - λI| = 0, donde I es la matriz identidad

Transformaciones de Matrices

Una transformación de matriz es una función que toma un vector como entrada y produce un vector transformado como salida
Las transformaciones de matrices se pueden utilizar para realizar varias operaciones, incluyendo:
- Rotación
- Escalado
- Reflexión
- Proyección
Una transformación de matriz se puede representar como un producto de transformaciones más simples
La inversa de una transformación de matriz se puede utilizar para revertir la transformación

Description

Aprenda sobre la suma y multiplicación de matrices, incluyendo las condiciones para realizar estas operaciones y las propiedades asociadas. Entienda cómo agregar y multiplicar matrices elemento a elemento.