Numerisches Programmieren I - Überblick
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Questions and Answers

Was beschreibt das Format von Fließkommazahlen nach dem IEEE-754 Standard?

  • Mantisse × BasisExponent (correct)
  • Mantisse + Basis + Exponent
  • Mantisse / BasisExponent
  • Mantisse - BasisExponent

    • Welches der folgenden Fakten ist über Fixkommazahlen korrekt?

  • Fixkommazahlen sind in modernen Computern weit verbreitet.
  • Fixkommazahlen bieten eine unendliche Präzision.
  • Fixkommazahlen verwenden die IEEE-754 Norm.
  • Fixkommazahlen haben einen festen Umfang und erfordern Skalierung. (correct)

    • Wie viele bits verwendet Python standardmäßig für Fließkommazahlen?

  • 128 bit
  • 64 bit (correct)
  • 32 bit
  • 16 bit

    • Was beschreibt der Begriff 'Cancellation' bei Fließkommazahlen?

    <p>Die Differenz zwischen zwei Zahlen ist klein und führt zu Präzisionsverlust.</p> Signup and view all the answers

    Wie viele dezimale Stellen kann die 64-bit (double precision) Fließkommazahl maximal darstellen?

    <p>15.95 Dezimalstellen</p> Signup and view all the answers

    Welcher der folgenden Punkte ist kein Nachteil von Fixkommazahlen?

    <p>Fixkommazahlen sind sehr genau.</p> Signup and view all the answers

    Was ist ein typischer Fehler bei der Fließkommaarithmetik?

    <p>Rundungsfehler</p> Signup and view all the answers

    Was ist die Basis für Fließkommazahlen im IEEE-754 Standard?

    <p>2 und 10</p> Signup and view all the answers

    Was ist NumPy?

    <p>Eine open-source Bibliothek für wissenschaftliches Rechnen in Python.</p> Signup and view all the answers

    Welche Funktion erzeugt ein NumPy-Array mit N Nullen?

    <p>np.zeros(N)</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt den Slicing-Vorgang in NumPy?

    <p>Man kann mit negativen Indizes vom Ende her zählen.</p> Signup and view all the answers

    Welche Funktion erzeugt eine gleichmäßig verteilte Sequenz von Zahlen?

    <p>np.linspace(start, end, steps, endpoint=True)</p> Signup and view all the answers

    Welches Argument wird NUR für die Funktion np.full(N, value) angegeben?

    <p>Die Anzahl der Einträge und den Wert für jeden Eintrag.</p> Signup and view all the answers

    Wie sind NumPy Arrays im Vergleich zu Python Listen effizienter?

    <p>Sie ermöglichen schnellere Berechnungen mit großen Datensätzen.</p> Signup and view all the answers

    Was kann nicht mit NumPy Arrays gemacht werden?

    <p>Direkt Strings speichern ohne Umwandlung.</p> Signup and view all the answers

    Welche Funktion ist nicht Teil der NumPy-Bibliothek für numerisches Programmieren?

    <p>np.export()</p> Signup and view all the answers

    Was bestimmt die Variable 's' in der Funktion scatter?

    <p>Die Größe der Symbolmarker</p> Signup and view all the answers

    Welcher Parameter in der Funktion scatter bestimmt die Farbe der Punkte?

    <p>c</p> Signup and view all the answers

    Welche Funktion wird verwendet, um ein Scatterplot zu erstellen?

    <p>scatter()</p> Signup and view all the answers

    Wie wird der Startwert in der gegebenen Sequenz für das Scatterplot angegeben?

    <p>seq = [0.5]</p> Signup and view all the answers

    Was wird mit 'cbar.set_label()' im Code erreicht?

    <p>Die Beschriftung der Farbskala zu setzen</p> Signup and view all the answers

    Welches Symbol wird häufig verwendet, um die Werte in einem Scatterplot darzustellen?

    <p>Kreis</p> Signup and view all the answers

    Welche Anweisung wird verwendet, um die 49 weiteren Werte in der Sequenz zu berechnen?

    <p>seq.append()</p> Signup and view all the answers

    Was ist die Rolle von 'vmin' und 'vmax' in der Funktion scatter?

    <p>Sie beschränken die Datenwerte für die Farbskala</p> Signup and view all the answers

    Was ist die allgemeine Zifferndarstellung einer ganzen Zahl in Bezug auf eine Basis b?

    <p>Xn di b i, i=0, mit 0 ≤ di &lt; b</p> Signup and view all the answers

    Was ist das Ergebnis der Operation C = A[A > 1.0] wenn A = np.array([1.0, 2.0, 3.0])?

    <p>np.array([2.0, 3.0])</p> Signup and view all the answers

    Welche der folgenden Optionen kann nicht für die Umwandlung in Integer in Python verwendet werden?

    <p>int('-12345', 16)</p> Signup and view all the answers

    Welcher Befehl gibt den Index des maximalen Wertes in einem NumPy Array zurück?

    <p>np.argmax()</p> Signup and view all the answers

    Welches Zeichen wird in Python verwendet, um eine Zahl im binären Format darzustellen?

    <p>0b</p> Signup and view all the answers

    Wie werden Ziffern größer als 9 in der hexadezimalen Darstellung dargestellt?

    <p>Mit Ziffern 0-9 und Buchstaben A-F</p> Signup and view all the answers

    Was ist das Ergebnis von np.where(A/2 > B, A, B) gegeben A = np.array([4.0, 2.0, 5.0]) und B = np.array([1.0, 5.0, 6.0])?

    <p>np.array([4.0, 5.0, 6.0])</p> Signup and view all the answers

    Was bewirken die Funktionen np.maximum(A, B) und np.minimum(A, B)?

    <p>Sie bestimmen die elementweise Maxima bzw. Minima zwischen A und B.</p> Signup and view all the answers

    Welche Eigenschaft besitzen Integer in Python?

    <p>Sie können beliebig groß sein.</p> Signup and view all the answers

    Wie kann man ein NumPy Array in N gleiche Teile aufteilen?

    <p>np.split(A, N)</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt die Struktur von Fixkommazahlen?

    <p>Sie haben eine festgelegte Anzahl an Dezimalstellen.</p> Signup and view all the answers

    Welche Methode wird verwendet, um die Indizes der Elemente zu finden, die eine bestimmte Bedingung erfüllen?

    <p>np.argwhere()</p> Signup and view all the answers

    Welcher Bereich kann von einem 64-Bit (signed) Integer abgedeckt werden?

    <p>{−(2^63 − 1),..., 2^63 − 1}</p> Signup and view all the answers

    Welcher Befehl kann verwendet werden, um die elementweise unscharfe Gleichheit zwischen zwei Arrays zu prüfen?

    <p>np.isclose()</p> Signup and view all the answers

    Was passiert bei der Verarbeitung größerer Integer in Computern?

    <p>Sie verursachen mehr Berechnungszeit.</p> Signup and view all the answers

    Welche Aussage über die Operation C = np.append(A, B) ist korrekt, wenn A = np.array([1.0, 2.0, 3.0]) und B = np.array([4.0, 5.0])?

    <p>C wird np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]) sein.</p> Signup and view all the answers

    Was ist ein Signifikanzverlust?

    <p>Ein Verlust an Genauigkeit bei der Addition oder Subtraktion von Zahlen mit unterschiedlichen Größenordnungen.</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt den Begriff Über-/Unterlauf in der Fließkommaarithmetik?

    <p>Das Auftreten eines mathematischen Fehlers, wenn Zahlen die darstellbare Reihe überschreiten.</p> Signup and view all the answers

    Was ist der Output von x - y, wenn x = 0.1 + 0.1 + 0.1 und y = 0.3?

    <p>5.551115123125783e-17</p> Signup and view all the answers

    Was ist das Ergebnis beim Dividieren einer Fließkommazahl durch ±0 in IEEE-754?

    <p>Das Ergebnis ist ±inf.</p> Signup and view all the answers

    Welche der folgenden Operationen führt im IEEE-754 zu nan?

    <p>+inf - +inf</p> Signup and view all the answers

    Wie kann die Genauigkeit von Berechnungen mit der Decimal-Bibliothek in Python angepasst werden?

    <p>Durch Festlegung eines Wertes von getcontext().prec.</p> Signup and view all the answers

    Was ist der Unterschied zwischen einer normalen Zahl und nan in IEEE-754?

    <p>nan steht für 'nicht eine Zahl', während normale Zahlen definiert und darstellbar sind.</p> Signup and view all the answers

    Was passiert, wenn beim Cancellationsverfahren x2 - y2 berechnet wird, wobei x und y nahe beieinander liegen?

    <p>Das Ergebnis ist ungenau und hat wenig richtige Stellen.</p> Signup and view all the answers

    Welcher Wertebereich ist im IEEE-754-Standard festgelegt?

    <p>Reelle Zahlen zusammen mit ±∞ und ±0.</p> Signup and view all the answers

    Wie wird die Decimal-Bibliothek in Python importiert?

    <p>from decimal import Decimal</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Numerisches Programmieren I - Übersicht

    • Modul: Mathematisches Programmieren (250014 VU)
    • Dozent: Univ.-Prof. Dr. Oliver Hahn (Universität Wien)

    3. Einheit: Numerisches Programmieren I

    • Themen:
      • Zahlendarstellungen
      • Die NumPy-Bibliothek – 1. Teil
      • Die Matplotlib Bibliothek – 1. Teil

    Zahlendarstellungen

    • Integer (Ganze Zahlen):

      • Zifferndarstellung ±dndn-1...d2d1d0 bezüglich einer Basis b.
      • In Python können Integer beliebig groß sein.
      • Darstellungen in binär, oktal, dezimal und hexadezimal möglich.
      • Umwandlung in Python Integer mithilfe der Funktion int().
      • Kurzformen für binär, oktal, dezimal und hexadezimal.
      • Stringkonversion zu binär, oktal, dezimal und hexadezimal.
      • Für Ziffern größer als 9 werden Buchstaben verwendet.
      • Der Prozessor aktueller Computer verarbeitet 64-bit Integer direkt.
      • Größere Integer müssen indirekt verarbeitet werden, was Berechnungen verlangsamt.

    • Fixkommazahlen:

      • Erweiterung der Integer-Darstellung.
      • Nachteile: Fester Umfang, Rechenaufwand und Rundungsfehler.
      • In modernen Computern meist nicht verwendet.

    • Float (Fließkommazahlen):

      • IEEE-754 Standard.
      • Form: ±c × b^q = Mantisse × Basis^Exponent.
      • Python verwendet standardmäßig 64-bit (double precision).
      • Andere Präzisionen (32-bit, 16-bit) sind auch möglich.

    Typische Fehler bei Fließkommazahlenberechnungen

    • Rundungsfehler: Näherung durch die nächste darstellbare Zahl.
    • Cancellation: Differenz zwischen zwei Zahlen sehr klein im Vergleich zu den ursprünglichen Zahlen.
    • Signifikanzverlust: Addition/Subtraktion von Zahlen mit sehr unterschiedlichen Größenordnungen.
    • Über-/Unterlauf: Zahl zu groß/klein für das Format.

    Spezielle Werte in IEEE-754

    • NaN: 'not a number'
    • +inf und -inf: ±∞
    • +0 und -0

    Rechenfehler der Fließkommazahlenarithmetik

    • Beispiele: Rundungsfehler, Signifikanzverlust, Cancellation.
    • Demonstrationen der Rechenfehler mit Beispielen.

    Rechnen mit beliebiger Genauigkeit - Die Decimal-Bibliothek

    • Decimal-Bibliothek: Berechnung mit beliebiger Nachkommastellenzahl.
    • Import: from decimal import Decimal.
    • Genauigkeits-Einstellung: getcontext().prec
    • Standard Python Typen: Direkter Einsatz im Decimal-Konstruktor.
    • Verarbeitung: Deutlich langsamer als Standardtypen.

    Die NumPy-Bibliothek - 1. Teil

    • Was ist NumPy?
      • Mächtige, flexible open-source Bibliothek für wissenschaftliches Rechnen in Python.
      • Mehrdimensionale Listen (Arrays), mathematische Funktionen und Routinen.
    • Warum NumPy?
      • Weitverbreitet und effizient für Operationen auf großen Datensätzen.
      • Einfache Verwendung mit anderen Bibliotheken wie SciPy und Matplotlib.
    • NumPy-Arrays: Kernstück der Bibliothek, effiziente Operationen analog zu Python-Listen, aber mit erweiterter Funktionalität.

    Plotting mit Matplotlib

    • Plotten von Listen oder NumPy-Arrays.
    • Laden: import matplotlib.pyplot as plt.
    • Erstellen von Plots: plt.subplots(), fig, ax mit der Methode ax.plot().

    Anatomie eines Matplotlib Plots

    • Abbildung (figure): Kann mehrere Achsen (axes) enthalten.
    • Axes-Objekte: Titel, Beschriftungen, Legende, usw.
    • Speicherung der Abbildungen: fig.savefig("filename.pdf").

    Komplexe Beispiele

    • Trigonometrische Funktionen: Plotting von Funktionen auf einem Intervall.
    • Subplots: Mehrere Diagramme innerhalb einer Abbildung.

    Verfeinerungen: Farben, Linienstile, Anmerkungen

    • Farben, Linienstile, Markergröße: Anpassen der Darstellung.
    • Texte und Anmerkungen: Ergänzungen für das Verständnis.

    Marker und Flächen zwischen Kurven

    • Alternativen zu Linien: Marker und Flächen für visuelle Darstellung.
    • Funktionen: scatter(), fill_between().

    Operationen auf NumPy Arrays

    • Logische Bedingungen: Verwendung in der Array-Indizierung.
    • Funktionen: np.max(), np.min(), np.where(), np.argwhere(), np.maximum(), np.minimum() .
    • Sortierung: np.sort(), np.argsort().
    • Speicherung/Wiederverwendung: np.save(), np.load() oder np.savetxt / np.loadtxt.

    (Pseudo-) Zufallszahlen mit NumPy

    • Verteilung: np.random.uniform(), np.random.normal(), np.random.choice , etc.
    • Reproduktion: np.random.seed().

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