Number Fields Part II - Galois Theory

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

ข้อใดถูกต้องเกี่ยวกับค่าของ χD (p + Da) เมื่อ d ≡ 3 (mod 4)?

χD (p + Da) = (−1)2

χD (p + Da) = d

χD (p + Da) = 0

χD (p + Da) = χD (p) (correct)

ถ้าดูจากการพิสูจน์ที่ให้มา ค่าของ χD (2) เป็นอย่างไร?

χD (2) = 2

χD (2) = 0 (correct)

χD (2) = 1

χD (2) = -1

การวิเคราะห์ของ L(χ, s) สำหรับ Re(s) > 0 จะต้องแสดงว่าอะไร?

X χ(i) = ∞

X χ(i) เป็น unbounded

X χ(i) = O(1) (correct)

X χ(i) = 0

กฎการออร์โธกอนัลระหว่างตัวละครที่ไม่ซ้ำกันของกลุ่ม G ที่ถูกต้องคืออะไร?

X g∈G χ1(g)χ2(g) = 0 Signup and view all the answers

เมื่อ d ≡ 1 หรือ 2 (mod 4) ค่า χD สำหรับจำนวนเฉพาะ p สามารถแสดงเป็นอะไร?

χD (p) = (-1)2 Signup and view all the answers

อัตราสูงสุดของอันดับของแมทริซ A คืออะไร?

r + s - 1 Signup and view all the answers

เมื่อ vi เป็นคอลัมน์ที่ i ของแมทริซ A, คอลัมน์ไหนไม่สามารถเป็นอิสระได้?

v1 ถึง vm-1 Signup and view all the answers

ข้อใดที่กล่าวถึงการเลือกค่า tk?

tk ถูกเลือกเพื่อให้ |tk| ใหญ่ที่สุด Signup and view all the answers

นิยามของ Regulator คืออะไร?

RL = covol(OL ⊆ Rr+s-1) Signup and view all the answers

การใดต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติของการนำเสนอที่ไม่ใช่ศูนย์ของโอเวอร์เฟล?

aij < 0 สำหรับทุก i 6= j Signup and view all the answers

อิสระเชิงเส้นของ vi จะถูกปฏิเสธเมื่อไหร่?

เมื่อมี ti เท่ากับ 0 แต่มากกว่านั้น Signup and view all the answers

หาก d < 0 ในกรณี L = Q(d), ค่า r และ s เป็นอย่างไร?

r = 0, s = 1 Signup and view all the answers

การคำนวณที่ระบุคืออะไรเมื่อใช้การคูณ?

| det(subminor)| = RL Signup and view all the answers

แสดงให้เห็นว่า $ ext{im } ackslash$ ของ $ackslash$ คืออะไรเมื่อ $ ext{ker } ackslash$ เป็นฟินิต?

เป็นกลุ่มแบบมีกำลัง จำกัด Signup and view all the answers

เงื่อนไขใดที่ทำให้ $ ext{im } ackslash$ เป็นแยกดิสครีตก?

เมื่อ $ ext{ker } ackslash$ เป็นฟินิต Signup and view all the answers

การนำ log ของค่าใช้จ่ายใดสามารถนำไปสู่การพิสูจน์ถึงธรรมชาติของการตระหนัก?

log |σi(α)| Signup and view all the answers

สิ่งใดคือวิธีการที่ใช้เพื่อพิสูจน์ว่า $ ext{ker } ackslash$ เป็นฟินิต?

อธิบายว่ามันเกี่ยวข้องกับเซตมีขนาดจำกัด Signup and view all the answers

ผลลัพธ์ใดที่ลงนามว่า $ ext{L}$ เป็นการปลูกฝังใน $ ext{C}$?

มันแสดงว่ามันสามารถสร้างจากรากเอกลักษณ์ Signup and view all the answers

แสดงให้เห็นว่าการสร้าง $ ext{µL}$ จากรากของเอกลักษณ์นั้นมีที่มาอย่างไร?

จากรากที่มีการบันทึกค่าต่ำที่สุด Signup and view all the answers

ข้อใดที่ทำให้ $ ext{im } ackslash$ กลายเป็น lattice?

การมีศูนย์เกรดที่ชัดเจน Signup and view all the answers

การแสดงออกใดคือการแสดงให้เห็นว่า $ ext{N(α)} = ±1$?

$N(α) = rac{σi(α)}{σr+`(α)}$ Signup and view all the answers

ถ้าฟิลด์ S เป็นฟิลด์ที่สร้างจากกลุ่มเชิงเส้นแบบใด การพิสูจน์ของ Cayley-Hamilton จะใช้ได้?

ฟิลด์ที่มีมิติจำกัด Signup and view all the answers

ในการพิสูจน์นี้ ฟังก์ชัน ms หมายถึงอะไร?

ฟังก์ชันที่สร้างมาจากการคูณด้วย s Signup and view all the answers

ในเวลาที่เรามีกำหนดให้เลขฐานสอง $ ext{det}(sI - B) = 0$ เหตุผลอะไรที่เราสามารถสรุปได้?

s เป็นค่าที่จะทำให้ฟังก์ชัน f เป็น 0 Signup and view all the answers

คำจำกัดความของ OL คืออะไร?

วงแหวนที่สร้างจากค่าสู่สูงใน L Signup and view all the answers

ในการพิสูจน์การมีอยู่ของฟังก์ชันฟิลด์ α ± β อยู่ใน Z[α, β] เราต้องทำอย่างไร?

แสดงให้เห็นว่า α, β มีการผสมผสานกันได้ Signup and view all the answers

การสร้าง Z[α, β] ต้องการเงื่อนไขอะไรในการใส่ α, β?

ต้องมีการผลิตจำกัด Signup and view all the answers

ถ้าฟิลด์ S เป็นการขยายเลขจำนวนเหลือง (Z) แล้ว S จะต้องเป็นอย่างไร?

ต้องมีการจำกัดเหนือ Z Signup and view all the answers

ในการพิสูจน์นี้ S ไม่สามารถสร้างเป็นวงแหวนได้เมื่อใด?

เมื่อ S ไม่สามารถพันธ์ต่อ Z ได้ Signup and view all the answers

ในวิชาคณิตศาสตร์, อะไรคือคำจำกัดความของ S ที่เป็น finitely-generated over R?

S มีเจเนอเรเตอร์จำนวนจำกัดที่สามารถเขียนทุกองค์ประกอบเป็นการรวม R-linear Signup and view all the answers

ใน Galois theory, การบอกว่าความเป็น finiteness กับความเป็น algebraicity คือสิ่งเดียวกันเกี่ยวข้องกับอะไร?

การใช้ rings และจำกัดที่ polynomials monic Signup and view all the answers

ถ้า $S = R[s]$ และ $s$ เป็น integral over $R$, อะไรที่เกิดขึ้น?

S จะเป็น finitely-generated over R Signup and view all the answers

ในกรณีที่ $S = R[s_1, s_2, ..., s_n]$, ถ้า $s_i$ เป็น integral over $R$, สัมพันธ์กับ S อย่างไร?

S จะเป็น finitely-generated over R Signup and view all the answers

เมื่อใดที่ S ถูกเรียกว่า integral over R?

เมื่อทุก $α ext{ ใน } S$ เป็น integral over R Signup and view all the answers

ในการพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่าง finitely-generated และ integrality, อะไรสำคัญที่สุด?

การเชื่อมโยงระหว่าง rings และ homomorphisms Signup and view all the answers

ในกรณีที่ $C$ เป็น finitely generated over $B$ และ $B$ เป็น finitely generated over $A$, อย่างไรที่ $C$ จะมีความสัมพันธ์กับ $A$?

C จะถูกพิสูจน์ว่าเป็น finitely generated over A Signup and view all the answers

ทำไมถึงกล่าวได้ว่า S เป็น finitely-generated หาก S ย่อยกรอบเชิงเส้นใน R?

เพราะการดำเนินการนี้จะทำให้ S คงอยู่ Signup and view all the answers

เงื่อนไขใดบ่งบอกว่า C เป็น integral over A?

B เหนือ A และ C เหนือ B ต้องเป็นการขยายแบบ integral Signup and view all the answers

ในการพิสูจน์ว่าเลขจำนวน c เป็น algebraic integer ต้องทำอย่างไร?

เพียงต้องแสดง monic polynomial ที่มี c เป็นศูนย์ Signup and view all the answers

ในกรณีที่ f ∈ K[x] และ f(α) = 0 เลข polynomial ใดที่ pα ต้องหาร f?

pα ต้องมีอำนาจน้อยที่สุดในจำนวน Signup and view all the answers

โปรพอซิชันใดที่มีความหมายเกี่ยวกับ algebraic integers?

α เป็นจำนวนเชิงขยายจาก Q ถ้าหาก polynomial ขั้นต่ำ pα ∈ Z[x] Signup and view all the answers

เมื่อใดที่ C0 จะเป็น finitely-generated over A?

เมื่อ c เป็น integral over B0 Signup and view all the answers

คำจำกัดความของ minimal polynomial คืออะไร?

เป็น monic polynomial ที่มี degree ต่ำสุดที่ทำให้ α เป็นศูนย์ Signup and view all the answers

ข้อกำหนดใดเป็นการพิสูจน์ว่า c ไม่ใช่ algebraic integer?

ไม่มี monic polynomial ที่ c เป็นศูนย์ Signup and view all the answers

การขยายแบบ integral ของ C ใน A ขึ้นอยู่กับข้อใด?

ความเป็น integral ของ B เหนือ A Signup and view all the answers

Study Notes

Part II - Number Fields

Based on lectures by I. Grojnowski, notes taken by Dexter Chua, Lent 2016.
These notes are not endorsed by the lecturers and have been modified.
Part IB Groups, Rings, and Modules is essential. Part II Galois Theory is desirable.
Includes definition of algebraic number fields, their integers, and units, as well as norms, bases, and discriminants.
Examines ideals (principal and prime), unique factorization, and norms of ideals.
Discusses Minkowski's theorem on convex bodies and Dirichlet's unit theorem.
Explores the determination of units in quadratic fields and ideal classes, along with finiteness of the class group.
Includes Dedekind's theorem on the factorization of primes applied to quadratic fields.
Covers cyclotomic fields and the Fermat equation.

Contains an introduction, number fields, norm, trace, discriminant, numbers, multiplicative structure of ideals, norms of ideals, structure of prime ideals, Minkowski bound, and finiteness of class group, Dirichlet's unit theorem, and L-functions, Dirichlet series.
Page numbers for each section are listed.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

แบบทดสอบนี้เน้นการศึกษาในเรื่องฟิลด์จำนวนใน Part II โดยเฉพาะหลักการในทฤษฎีกาลัว โดยมีการกล่าวถึงแนวคิดต่าง ๆ เช่น อุดมคติ การหาค่าของหน่วยในฟิลด์คู่ และการจำแนกคลาสอุดมคติ นอกจากนี้ยังรวมถึงบทพิสูจน์ของทฤษฎี Minkowski และความสำคัญของสมการ Fermat.