Notion de suite vers l'infini

Questions and Answers

Calculer la hauteur h2 pour la suite construite avec des rectangles d'aire 1.

0,25

0,5 (correct)

Quelle est la condition pour que la suite (xn) dépasse 10 ?

Pour tout entier naturel *n*, *xN* doit être au moins 5.

Il n'y a pas de condition spécifique.

Tous les termes de la suite doivent être supérieurs à 5.

Il existe un entier naturel *N* tel que *xN* > 10. (correct)

Montrez quel terme de la suite pn représente la probabilité qu'un bonbon pris soit à la violette.

*pn* = (n + 10) / (2n)

*pn* = n / (2n + 10) (correct)

*pn* = 10 / (n + 2)

*pn* = 2n / (n + 10)

Quel résultat peut-on déduire pour la limite de la suite xn ?

limn→+∞ xn = +∞ Signup and view all the answers

Quelle inégalité peut-on établir pour xn+1 en termes de xn ?

xn+1 ≥ 2 + 1 / xn Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Une suite qui a une limite finie. Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant la limite d'une suite ?

La limite d'une suite est unique lorsqu'elle existe. Signup and view all the answers

Que signifie dire qu'une suite converge vers un nombre réel l ?

Pour tout intervalle autour de l, les termes de la suite y sont finalement tous contenus. Signup and view all the answers

Laquelle des suites suivantes converge vers zéro ?

$rac{1}{n^2}$ Signup and view all the answers

Quelle suite n'a pas de limite ?

$u_n = (-1)^n$ Signup and view all the answers

Quelles sont les caractéristiques d'une suite divergente ?

Elle n'a pas de limite ou a une limite infinie. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui caractérise les suites de référence ayant pour limite 0 ?

Elles convergent vers 0. Signup and view all the answers

Comment notation-on la limite d'une suite ?

$ ext{lim}_{n o ext{inf}} u_n = l$ Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que la suite (un) converge vers +∞ ?

lim vn = +∞ Signup and view all the answers

Comment peut-on démontrer que lim un = -∞ si lim vn = -∞ ?

Il faut que vn ≤ un Signup and view all the answers

Dans le théorème des gendarmes, quelles sont les conditions pour que la suite (un) converge vers une limite l ?

vn ≤ un ≤ wn pour n suffisamment grand Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant l'intervalle [A, +∞[ dans la démonstration du théorème de comparaison ?

Il contiendra tous les un à partir d'un certain rang Signup and view all the answers

Quelle est la signification de lim vn = l = lim wn dans le théorème des gendarmes ?

Les deux suites convergent vers la même valeur l Signup and view all the answers

Quelle est la limite de la somme des suites $u_n = n$ et $v_n = -n$ quand $n$ tend vers l'infini ?

0 Signup and view all the answers

Si $ ext{lim}{n \to +\infty} v_n = 0$ et $ ext{lim}{n \to +\infty} u_n = +\infty$, quelle est la limite de $rac{u_n}{v_n}$ ?

+\infty Signup and view all the answers

Quelle conclusion peut-on tirer si $ ext{lim}{n \to +\infty} u_n = 2n$ et $ ext{lim}{n \to +\infty} v_n = -n$ ?

La limite de $u_n + v_n$ est $+\infty$. Signup and view all the answers

Si $u_n = n^2$ et $v_n = 1/n$, quelle est la limite de $rac{u_n}{v_n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini ?

+\infty Signup and view all the answers

Dans le cas où $ ext{lim}_{n \to +\infty} v_n = 0$, quels résultats sont indéterminés ?

l et 0 Signup and view all the answers

Quand dit-on qu'une suite a pour limite +∞ ?

Quand les termes passent au-dessus de tout nombre réel A à partir d'un certain rang. Signup and view all the answers

Quelle suite a pour limite +∞ ?

La suite (3n^2). Signup and view all the answers

Si une suite arithmétique a une raison r < 0, que peut-on dire de cette suite ?

Elle diverge vers -∞. Signup and view all the answers

Quel énoncé est vrai au sujet des suites de référence ?

Les suites (kn^2) ont pour limite +∞ pour k > 0. Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'une suite qui diverge vers -∞ ?

Tout intervalle -∞ : A contient toutes les valeurs à partir d'un certain rang. Signup and view all the answers

Quel type de suite diverge vers -∞ quand la raison r est négative ?

Une suite arithmétique. Signup and view all the answers

Comment note-t-on la limite d'une suite qui tend vers +∞ ?

lim_{n -> +∞} u_n = +∞. Signup and view all the answers

Pourquoi peut-on dire que les termes de la suite (kn) passent au-dessus de toute barrière A ?

Car pour tout A, il existe un n_0 tel que pour n >= n_0, u_n >= A. Signup and view all the answers

Study Notes

Notion de suite qui tend vers +∞

Construction de rectangles d'aire 1, notations : xn (longueur) et hn (hauteur), avec xn hn = 1.
Relation : xn+1 = xn + hn.
Pour tout entier naturel n, hn+1 = 1 / xn+1.
Suite (xn) tabulée avec x1 = 1 et h2 calculé.
Existence d'un entier naturel N tel que xN > 10.
Vérification : pour tout n, xn+1 ≥ 2 + 1 / xn.
Démonstration par récurrence : xn ≥ somme des inverses des termes précédents.
Inégalités en déduisant : xn ≥ √(4 + 2*n).
Trouver un entier naturel n0 pour xn ≥ 1000.
Pour tout seuil S, existence de N tel que xn ≥ S à partir d'un certain rang.
Limite notée : lim(n→+∞) xn = +∞.

Notion de suite convergente

Boîte opaque contenant n bonbons à la violette et n + 10 au citron.
Événement Vn : « Le bonbon choisi est à la violette » avec probabilité pn = n / (2*n + 10).
Suite tabulée et représentation graphique.

Limite infinie d'une suite

Définition : une suite diverge vers +∞ quand tout intervalle de type A : +∞ contient toutes les valeurs u_n à partir d'un certain rang.
Pour chaque vrai nombre A, on peut trouver n0 tel que u_n ≥ A pour n ≥ n0.
Suites de référence de limite +∞ incluent (kn), (kn²), (kn³), etc.

Limite égale à -∞

Définition similaire pour les suites décroissantes vers -∞.
Exemples incluent les suites (-kn), (-kn²), etc.

Exemples de suites divergentes

Suites qui n'atteignent pas de limite, comme u_n = (-1)^n.
Identification des intervalles où les valeurs ne ressortent pas.

Vocabulaire

Suites convergentes : limites finies.
Suites divergentes : limites infinies ou absence de limite.

3 Limites et comparaison

Théorème de comparaison : si un ≤ vn et lim(vn) = +∞, alors lim(un) = +∞.
Propriété similaire pour les limites vers -∞.

Opérations et limites

Règles opératoires pour la somme et le produit de deux suites.
Cas particuliers où les opérations peuvent mener à des formes indéterminées.
Tableaux pour le quotient de deux suites, tenant compte des cas où une limite tend vers 0 ou d'autres valeurs.

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Description

Ce quiz aborde la notion de suites numériques, en se concentrant sur la construction de rectangles successifs avec une aire constante de 1. Il s'agit de calculer des valeurs spécifiques et de tabuler la suite donnée, en justifiant les relations entre les éléments de cette suite.