Notations mathématiques et intervalles

Study Notes

Les ensembles mathématiques les plus usuels sont généralement représentés par une lettre à double barre.
L’ensemble des entiers naturels est noté N.
L’ensemble des entiers strictement positifs est noté N*.
L’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) est noté Z.
L’ensemble des entiers non-nuls est noté Z*.
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q et est défini comme l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers, avec q différent de 0.
L’ensemble des nombres réels est noté R.
L’ensemble des nombres réels non-nuls est noté R*.
L’ensemble des nombres complexes est noté C.
L’espace vectoriel des polynômes en x de degré inférieur ou égal à n est noté Rn[x].

Les intervalles sont un sous-ensemble des nombres réels définis par des inégalités.
[a, b] représente l’intervalle fermé incluant a et b : a ≤ x ≤ b
]a, b[ représente l’intervalle ouvert excluant a et b : a < x < b
[a, b[ représente l’intervalle semi-ouvert incluant a et excluant b : a ≤ x < b
]a, b] représente l’intervalle semi-ouvert excluant a et incluant b : a < x ≤ b
]-∞, a[ représente l’intervalle ouvert vers l’infini négatif excluant a
]-∞, a] représente l’intervalle semi-ouvert vers l’infini négatif incluant a
]a, +∞[ représente l’intervalle ouvert vers l’infini positif excluant a
[a, +∞[ représente l’intervalle semi-ouvert vers l’infini positif incluant a

Le calcul scientifique est la discipline qui permet de reproduire sur un ordinateur un phénomène ou un processus décrit par un modèle mathématique.
Le processus implique la transformation d'un phénomène physique, économique ou biologique en un modèle mathématique bien posé et bien conditionné.
La solution du modèle est ensuite obtenue par des méthodes numériques et implémentée sur un ordinateur.
L'analyse numérique est une composante essentielle du calcul scientifique, elle fournit des techniques pour la discrétisation, l'analyse des algorithmes, et l'estimation des erreurs numériques.
Le calcul scientifique est donc un processus itératif impliquant l’observation expérimentale, la modélisation mathématique, la résolution numérique, la programmation, l'analyse des résultats et la visualisation.

Un algorithme numérique doit être rapide, précis et souple.
La rapidité d'un algorithme se mesure par le nombre d'opérations de calcul nécessaires pour arriver au résultat souhaité.
La précision d'un algorithme correspond à sa capacité à gérer les erreurs numériques inhérentes à tous calculs numériques. Ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur ou à la troncature.
La souplesse d'un algorithme se traduit par sa capacité à être facilement adaptable à des problèmes différents.

L’ordinateur est devenu un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes.
Choisir et optimiser les algorithmes numériques est crucial pour les calculs de type industriel répétitifs et les calculs de référence où la seule limite est la patience du chercheur.
Les applications du calcul scientifique sont vastes, allant de la fluidodynamique à l'économie.