Notations mathématiques et intervalles

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Questions and Answers

Quel est l'ensemble désigné par N?

l’ensemble des entiers naturels

Quelle est la notation de l'ensemble des nombres rationnels?

Q

Que représente l'ensemble R?

l'ensemble des réels

Quel ensemble est représenté par Z*?

<p>L'ensemble des entiers différents de 0 (B)</p> Signup and view all the answers

L'espace vectoriel des polynômes en x de degré inférieur ou égal à n est noté ______.

<p>Rn[x]</p> Signup and view all the answers

Quels langages de programmation sont liés au calcul scientifique?

<p>Python (A), C++ (D)</p> Signup and view all the answers

Le calcul scientifique ne peut être effectué que sur des ordinateurs modernes.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Quelles sont les trois conditions qu'un algorithme doit satisfaire selon le texte?

<p>rapide, précis, souple</p> Signup and view all the answers

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Study Notes

Notations mathématiques

  • Les ensembles mathématiques les plus usuels sont généralement représentés par une lettre à double barre.
  • L’ensemble des entiers naturels est noté N.
  • L’ensemble des entiers strictement positifs est noté N*.
  • L’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) est noté Z.
  • L’ensemble des entiers non-nuls est noté Z*.
  • L’ensemble des nombres rationnels est noté Q et est défini comme l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers, avec q différent de 0.
  • L’ensemble des nombres réels est noté R.
  • L’ensemble des nombres réels non-nuls est noté R*.
  • L’ensemble des nombres complexes est noté C.
  • L’espace vectoriel des polynômes en x de degré inférieur ou égal à n est noté Rn[x].

Intervalles

  • Les intervalles sont un sous-ensemble des nombres réels définis par des inégalités.
  • [a, b] représente l’intervalle fermé incluant a et b : a ≤ x ≤ b
  • ]a, b[ représente l’intervalle ouvert excluant a et b : a < x < b
  • [a, b[ représente l’intervalle semi-ouvert incluant a et excluant b : a ≤ x < b
  • ]a, b] représente l’intervalle semi-ouvert excluant a et incluant b : a < x ≤ b
  • ]-∞, a[ représente l’intervalle ouvert vers l’infini négatif excluant a
  • ]-∞, a] représente l’intervalle semi-ouvert vers l’infini négatif incluant a
  • ]a, +∞[ représente l’intervalle ouvert vers l’infini positif excluant a
  • [a, +∞[ représente l’intervalle semi-ouvert vers l’infini positif incluant a

Calcul scientifique

  • Le calcul scientifique est la discipline qui permet de reproduire sur un ordinateur un phénomène ou un processus décrit par un modèle mathématique.
  • Le processus implique la transformation d'un phénomène physique, économique ou biologique en un modèle mathématique bien posé et bien conditionné.
  • La solution du modèle est ensuite obtenue par des méthodes numériques et implémentée sur un ordinateur.
  • L'analyse numérique est une composante essentielle du calcul scientifique, elle fournit des techniques pour la discrétisation, l'analyse des algorithmes, et l'estimation des erreurs numériques.
  • Le calcul scientifique est donc un processus itératif impliquant l’observation expérimentale, la modélisation mathématique, la résolution numérique, la programmation, l'analyse des résultats et la visualisation.

Algorithmes numériques

  • Un algorithme numérique doit être rapide, précis et souple.
  • La rapidité d'un algorithme se mesure par le nombre d'opérations de calcul nécessaires pour arriver au résultat souhaité.
  • La précision d'un algorithme correspond à sa capacité à gérer les erreurs numériques inhérentes à tous calculs numériques. Ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur ou à la troncature.
  • La souplesse d'un algorithme se traduit par sa capacité à être facilement adaptable à des problèmes différents.

Importance du calcul scientifique

  • L’ordinateur est devenu un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes.
  • Choisir et optimiser les algorithmes numériques est crucial pour les calculs de type industriel répétitifs et les calculs de référence où la seule limite est la patience du chercheur.
  • Les applications du calcul scientifique sont vastes, allant de la fluidodynamique à l'économie.

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