Nombres complexes : Introduction et Représentation

• Les nombres complexes étendent les nombres réels en incluant l'unité imaginaire i, où i² = -1.
• Un nombre complexe est de la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels.
• a est la partie réelle de z, notée Re(z).
• b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Ensemble des nombres complexes

• L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
• Tout nombre réel est un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle (b = 0), donc ℝ ⊆ ℂ.
• Si a = 0 et b ≠ 0, alors z = bi est un imaginaire pur.

Représentation géométrique

• Chaque nombre complexe z = a + bi peut être représenté par un point M(a, b) dans le plan complexe.
• Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé direct (O, u, v).
• L'axe des abscisses est l'axe réel.
• L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire.
• Le point M(a, b) est l'image de z = a + bi.
• z est l'affixe de M.
• Un vecteur OM a également pour affixe le nombre complexe z.

Opérations sur les nombres complexes

• Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
• Multiplication: (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
• Multiplication par un scalaire: k(a + bi) = ka + kbi, où k est un nombre réel.

Conjugué d'un nombre complexe

• Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est noté z̄ et est défini par z̄ = a - bi.
• Géométriquement, le conjugué de z est le symétrique de z par rapport à l'axe réel.
• Propriétés du conjugué :
  • Re(z) = (z + z̄)/2
  • Im(z) = (z - z̄)/2i
  • z + z̄ est un nombre réel.
  • z - z̄ est un imaginaire pur.
  • z * z̄ = a² + b² (toujours un nombre réel positif ou nul).
  • Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués : (z + z')̄ = z̄ + z'̄
  • Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués : (z * z')̄ = z̄ * z'̄

Module d'un nombre complexe

• Le module d'un nombre complexe z = a + bi est noté |z| et est défini par |z| = √(a² + b²).
• Géométriquement, |z| est la distance entre l'origine O et le point M d'affixe z. C'est aussi la norme du vecteur OM.
• |z| = √(z * z̄)
• Propriétés du module :
  • |z| ≥ 0
  • |z| = 0 si et seulement si z = 0
  • |z * z'| = |z| * |z'|
  • |z + z'| ≤ |z| + |z'| (inégalité triangulaire)
  • ||z| - |z'|| ≤ |z - z'|
• Si z est un réel, le module de z est sa valeur absolue.

Argument d'un nombre complexe

• L'argument d'un nombre complexe non nul z est un angle θ tel que cos(θ) = a/|z| et sin(θ) = b/|z|.
• θ est une mesure de l'angle (u, OM), où u est le vecteur unitaire sur l'axe réel et M est le point d'affixe z.
• L'argument de z est défini à 2π près. On note arg(z) = θ [2π].
• L'argument d'un nombre complexe nul n'est pas défini.
• Propriétés de l'argument :
  • arg(z * z') = arg(z) + arg(z') [2π]
  • arg(1/z) = -arg(z) [2π]
  • arg(z̄) = -arg(z) [2π]
  • arg(zⁿ) = n * arg(z) [2π], pour tout entier n.

Forme trigonométrique (ou forme polaire)

• Un nombre complexe z non nul peut être écrit sous forme trigonométrique comme z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)), où θ est un argument de z.

Notation exponentielle

• On définit e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ) pour tout θ réel.
• La forme exponentielle d'un nombre complexe z est alors z = |z|e^(iθ), où θ est un argument de z.
• Propriétés de l'exponentielle complexe :
  • e^(i(θ + θ')) = e^(iθ) * e^(iθ')
  • e^(-iθ) = 1/e^(iθ)
  • (e^(iθ))^n = e^(inθ) (formule de Moivre)

Formules d'Euler

• cos(θ) = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2
• sin(θ) = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)

Résolution d'équations dans ℂ

• Équations du premier degré: az + b = 0, où a et b sont des nombres complexes et a ≠ 0. La solution est z = -b/a.
• Équations du second degré: az² + bz + c = 0, où a, b, et c sont des nombres complexes et a ≠ 0.
• Le discriminant est Δ = b² - 4ac.
  • Si Δ = 0, il existe une solution réelle unique z = -b/(2a).
  • Si Δ > 0, il existe deux solutions réelles.
  • Si Δ < 0, il existe deux solutions complexes conjuguées.
• Dans ℂ, toute équation polynomiale de degré n a exactement n solutions (comptées avec leur multiplicité).

Transformations complexes

• Une transformation complexe associe un nombre complexe z à un autre nombre complexe z'. On écrit z' = f(z).
• Translation: z' = z + b, où b est un nombre complexe constant.
• Homothétie: z' = kz, où k est un nombre réel constant.
• Rotation: z' = e^(iθ)z, où θ est un angle constant. Le centre de rotation est l'origine.
• Similitude directe: z' = az + b, où a et b sont des nombres complexes et a ≠ 0. C'est une combinaison d'une rotation, d'une homothétie et d'une translation.

Applications géométriques

• Alignement de points: Les points A, B et C d'affixes a, b et c sont alignés si et seulement si (c - a)/(b - a) est un nombre réel.
• Orthogonalité de droites: Les droites (AB) et (CD) d'affixes a, b, c, et d sont orthogonales si et seulement si (d - c)/(b - a) est un imaginaire pur.
• Nature d'un triangle: On peut étudier la nature d'un triangle (équilatéral, isocèle, rectangle) en utilisant les affixes de ses sommets et en calculant les rapports de différences d'affixes.