Nombres complexes: Formes et Opérations

Comparaison de nombres complexes

• Les nombres complexes se présentent sous différentes formes : algébrique, trigonométrique et exponentielle.
• Les opérations avec des nombres complexes comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
• La formule de Moivre et la formule d'Euler sont des outils importants pour travailler avec la forme trigonométrique et exponentielle des nombres complexes.

Forme algébrique

• Un nombre complexe $z$ peut être exprimé sous forme algébrique : $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
• La partie réelle de $z$ est $a$, notée $\Re(z)$.
• La partie imaginaire de $z$ est $b$, notée $\Im(z)$.

Représentation graphique

• Dans le plan complexe, un nombre complexe $z$ est représenté par le point $M$ de coordonnées $(a, b)$.

Module

• Le module de $z$, noté $|z|$, est calculé comme : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Argument

• L'argument $\theta$ est tel que : $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.

Forme trigonométrique

• Un nombre complexe $z$ peut être écrit sous forme trigonométrique : $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$.

Forme exponentielle

• La forme exponentielle de $z$ est : $z = |z|e^{i\theta}$.

Conjugaison

• Le conjugué de $z = a + bi$ est $\overline{z} = a - bi$.

Propriétés de Conjugaison

• La partie réelle de $z$ peut être calculée comme : $\Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}$.
• La partie imaginaire de $z$ peut être calculée comme : $\Im(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$.
• La relation entre $z$ et son conjugué et son module est : $z\overline{z} = |z|^2$.

Opérations

• Soient $z_1 = a_1 + b_1i$ et $z_2 = a_2 + b_2i$ deux nombres complexes.

Addition

• L'addition de deux nombres complexes est : $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.

Soustraction

• La soustraction de deux nombres complexes est : $z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Multiplication

• La multiplication de deux nombres complexes est : $z_1 z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$.

Division

• La division de deux nombres complexes est : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 + b_2^2}$.

Formule de Moivre

• La formule de Moivre est : $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$.

Formule d'Euler

• La formule d'Euler est : $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.

Conséquences de la Formule d'Euler

• $\cos \theta$ peut être exprimé comme : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$.
• $\sin \theta$ peut être exprimé comme : $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Racines n-ièmes

• Pour $z = r e^{i\theta}$, les racines n-ièmes de $z$ sont données par : $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$, où $k = 0, 1,..., n-1$.