Nombres Complexes: Définition et Opérations

Nombres Complexes : Définition et Propriétés

• Un nombre complexe est défini comme $z=a+ib$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
  • $a$ représente la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$.
  • $b$ représente la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$.
  • $i$ est l'unité imaginaire, où $i^2 = -1$.
• L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$, défini comme $\mathbb{C} = {a+ib \mid a,b \in \mathbb{R}}$.

Opérations sur les nombres complexes

• Soient $z = a+ib$ et $z' = a'+ib'$ deux nombres complexes.
  • L'addition de $z$ et $z'$ est donnée par $z+z' = (a+a') + i(b+b')$.
  • La multiplication de $z$ et $z'$ est donnée par $zz' = (aa'-bb') + i(ab'+a'b)$.

Conjugué d'un nombre complexe

• Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+ib$ est noté $\overline{z}$ et est défini comme $\overline{z} = a-ib$.

Propriétés du conjugué

• $\Re(z) = \frac{1}{2}(z+\overline{z})$.
• $\Im(z) = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})$.
• $\overline{z+z'} = \overline{z} + \overline{z'}$.
• $\overline{zz'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$.
• $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$.
• $\overline{\overline{z}} = z$.

Module d'un nombre complexe

• Le module d'un nombre complexe $z = a+ib$ est noté $|z|$ et est défini comme $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Propriétés du module

• $|z| = |\overline{z}|$.
• $|zz'| = |z| \cdot |z'|$.
• $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$.
• $|z+z'| \leq |z| + |z'|$, connue sous le nom d'inégalité triangulaire.
• $z\overline{z} = |z|^2$.
• $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

Forme trigonométrique (ou polaire)

• Un nombre complexe peut être exprimé sous forme trigonométrique comme $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, où :
  • $r = |z|$ est le module de $z$.
  • $\theta$ est un argument de $z$.

Argument d'un nombre complexe

• L'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est défini à $2\pi$ près.
• $\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z') \quad [2\pi]$.
• $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \quad [2\pi]$.
• $\arg(\overline{z}) = -\arg(z) \quad [2\pi]$.

Forme exponentielle d'un nombre complexe

• Un nombre complexe peut être exprimé sous forme exponentielle comme $z = re^{i\theta}$, où :
  • $r = |z|$ est le module de $z$.
  • $\theta = \arg(z)$ est l'argument de $z$.

Formule d'Euler

• $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.
• $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$.
• $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Formule de Moivre

• $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$, qui peut aussi s'écrire $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

• L'équation générale du second degré est donnée par $az^2 + bz + c = 0$, où $a,b,c \in \mathbb{C}$ et $a \neq 0$.
• Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac \in \mathbb{C}$.
  • Si $\Delta = 0$, l'équation a une solution unique $z = -\frac{b}{2a}$.
  • Si $\Delta \neq 0$, l'équation a deux solutions $z_{1,2} = \frac{-b \pm \delta}{2a}$, où $\delta^2 = \Delta$.

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

• Une racine n-ième de $z \in \mathbb{C}$ est un nombre $w \in \mathbb{C}$ tel que $w^n = z$.
• Si $z = re^{i\theta}$, alors les racines n-ièmes de $z$ sont données par : $w_k = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, k=0,1,\dots,n-1$.

Racines n-ièmes de l'unité

• Les racines n-ièmes de l'unité sont données par $w_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, k=0,1,\dots,n-1$.

Vecteurs dans $\mathbb{R}^n$

• Un vecteur $u$ dans $\mathbb{R}^n$ est une liste ordonnée de $n$ nombres réels, $u = (u_1, u_2,..., u_n)$, où $u_i \in \mathbb{R}$ pour $i = 1, 2,..., n$.

Opérations sur les vecteurs

• Soient $u = (u_1, u_2,..., u_n)$ et $v = (v_1, v_2,..., v_n)$ dans $\mathbb{R}^n$, et $c \in \mathbb{R}$.
  • Addition : $u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2,..., u_n + v_n)$.
  • Multiplication scalaire : $cu = (cu_1, cu_2,..., cu_n)$.

Propriétés des vecteurs

• Pour tous vecteurs $u, v, w \in \mathbb{R}^n$ et scalaires $a, b \in \mathbb{R}$ :
  • $u + v = v + u$ (commutativité).
  • $(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativité).
  • $u + 0 = u$ (existence d'un élément neutre).
  • $u + (-u) = 0$ (existence d'un inverse additif).
  • $a(u + v) = au + av$ (distributivité).
  • $(a + b)u = au + bu$ (distributivité).
  • $a(bu) = (ab)u$ (associativité).
  • $1u = u$ (élément neutre multiplicatif).

Produit Scalaire

• Le produit scalaire de deux vecteurs $u = (u_1, u_2,..., u_n)$ et $v = (v_1, v_2,..., v_n)$ est défini par : $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 +...+ u_nv_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i$

Norme

• La norme d'un vecteur $u = (u_1, u_2,..., u_n)$ est définie par : $|u| = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 +...+ u_n^2}$

Distance

• La distance entre deux vecteurs $u$ et $v$ est définie par : $d(u, v) = |u - v| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 +...+ (u_n - v_n)^2}$

Définition d'Espace Vectoriel

• Un espace vectoriel $V$ sur un corps $\mathbb{K}$ est défini avec deux opérations :
  • Addition : $V \times V \rightarrow V$, $(u, v) \mapsto u + v$
  • Multiplication scalaire : $\mathbb{K} \times V \rightarrow V$, $(c, u) \mapsto cu$
• Ces opérations doivent satisfaire huit axiomes.

Axiomes

• 1. $u + v = v + u$ pour tous $u, v \in V$
• 2. $(u + v) + w = u + (v + w)$ pour tous $u, v, w \in V$
• 3. Il existe un élément $0 \in V$ tel que $u + 0 = u$ pour tout $u \in V$
• 4. Pour tout $u \in V$, il existe un élément $-u \in V$ tel que $u + (-u) = 0$
• 5. $a(u + v) = au + av$ pour tous $a \in \mathbb{K}$ et $u, v \in V$
• 6. $(a + b)u = au + bu$ pour tous $a, b \in \mathbb{K}$ et $u \in V$
• 7. $a(bu) = (ab)u$ pour tous $a, b \in \mathbb{K}$ et $u \in V$
• 8. $1u = u$ pour tout $u \in V$

Exemples d'Espaces Vectoriels

• $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}$
• Matrices $m \times n$ sur $\mathbb{R}$
• Fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, noté $C(\mathbb{R})$
• Polynômes à coefficients réels, noté $\mathbb{R}[x]$

Sous-Espaces Vectoriels

• Sous-ensemble $W$ de $V$ qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations que $V$. Pour être un sous-espace vectoriel : -Il doit être non-vide -Stable par addition : pour tous $u, v \in W$, $u + v \in W$ -Stable par multiplication scalaire : pour tout $u \in W$ et tout scalaire $c \in \mathbb{K}$, $cu \in W$

Combinaison Linéaire

• Combinaison linéaire de vecteurs $v_1, v_2,..., v_k$ : $c_1v_1 + c_2v_2 +...+ c_kv_k$ où $c_1, c_2,..., c_k \in \mathbb{K}$

Enveloppe Linéaire

• Ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de vecteurs dans $S = {v_1, v_2,..., v_k}$ : $\text{span}(S) = {c_1v_1 + c_2v_2 +...+ c_kv_k \mid c_1, c_2,..., c_k \in \mathbb{K}}$
• C'est un sous-espace vectoriel

Indépendance Linéaire

• $S = {v_1, v_2,..., v_k}$ est linéairement indépendant si $c_1v_1 + c_2v_2 +...+ c_kv_k = 0 \Rightarrow c_1 = c_2 =... = c_k = 0$
• Si ce n'est pas le cas, il est linéairement dépendant

Base et Dimension

• Une base d'un espace vectoriel $V$ est un ensemble de vecteurs $B = {v_1, v_2,..., v_n}$ linéairement indépendant et qui engendre $V$, tel que $\text{span}(B) = V$.
• La dimension d'un espace vectoriel $V$, notée $\dim(V)$, est le nombre de vecteurs dans une base de $V$.

Exemples

• La base canonique de $\mathbb{R}^n$ est ${(1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1)}$, et $\dim(\mathbb{R}^n) = n$
• La dimension de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus $n$, noté $\mathbb{R}_n[x]$, est $n+1$. Une base est ${1, x, x^2,..., x^n}$.

Définition d'Application Linéaire

• Fonction $T: V \rightarrow W$ entre deux espaces vectoriels $V$ et $W$ qui satisfait deux conditions pour tous $u, v \in V$ et tout $c \in \mathbb{K}$ :
  • $T(u + v) = T(u) + T(v)$ (préserve l'addition)
  • $T(cu) = cT(u)$ (préserve la multiplication scalaire)

Propriétés des Applications Linéaires

• $T(0) = 0$
• $T(c_1v_1 + c_2v_2 +...+ c_kv_k) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) +...+ c_kT(v_k)$

Noyau et Image d'une Application Linéaire

• Noyau : $\text{ker}(T) = {v \in V \mid T(v) = 0}$ -C'est un sous-espace vectoriel de $V$
• Image : $\text{im}(T) = {w \in W \mid \exists v \in V \text{ tel que } T(v) = w}$ -C'est un sous-espace vectoriel de $W$

Théorème du Rang

• Pour une application linéaire $T: V \rightarrow W$ où $V$ est de dimension finie, on a : $\dim(V) = \dim(\text{ker}(T)) + \dim(\text{im}(T))$

Matrice d'une Application Linéaire

• Applications linéaires peuvent être représentées par des matrices. Les coordonnées de $T(v)$ dans la base $C$ sont données par : $[T(v)]_C = A[v]B$, où [A = [T]{C \leftarrow B}].

Isomorphismes

• Application linéaire bijective. Si $T: V \rightarrow W$ est un isomorphisme, alors $V$ et $W$ sont dits isomorphes et ont la même structure algébrique.
• Si $V$ et $W$ sont de dimension finie et sont isomorphes si et seulement si $\dim(V) = \dim(W)$.

Valeurs Propres et Vecteurs Propres

• Si $A$ est une matrice carrée $n \times n$, un scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $A$ s'il existe un vecteur non nul $v \in \mathbb{R}^n$ tel que : $Av = \lambda v$

Calcul des Valeurs Propres

• Les valeurs propres de $A$ sont les solutions de l'équation caractéristique : $\det(A - \lambda I) = 0$

Espace Propre

• L'espace propre associé à une valeur propre $\lambda$ est : $E_\lambda = {v \in \mathbb{R}^n \mid Av = \lambda v} = \text{ker}(A - \lambda I)$. C'est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$.

Diagonalisation

• Une matrice carrée $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que : $A = PDP^{-1}$
• Une matrice $A$ de taille $n \times n$ est diagonalisable si et seulement si elle admet $n$ vecteurs propres linéairement indépendants.

Introduction à la Thermodynamique

• La thermodynamique examine la chaleur, la température ainsi que leur relation avec l'énergie et le travail.
• La thermodynamique définit des variables macroscopiques telles que la température, l'entropie et la pression.
• Les lois de la thermodynamique sont dérivées de la mécanique statistique.

Système Thermodynamique

• Système thermodynamique : quantité de matière ou région de l'espace choisie pour l'étude.
• L'extérieur du système est appelé l'environnement.
• La surface qui sépare le système de l'environnement est appelée la limite.

Types de Systèmes

• Système fermé : Masse constante mais l'énergie peut traverser la limite.
• Système ouvert : Masse et énergie peuvent traverser la limite.
• Système isolé : Ni la masse ni l'énergie ne peuvent traverser la limite.

Propriétés d'un Système

• Propriétés intensives : Indépendantes de la masse (température, pression, densité).
• Propriétés extensives : Dépendent de la taille (masse, volume, énergie totale).

État d'un Système

• L'état d'un système est défini par ses propriétés.

Équilibre Thermodynamique

• L'équilibre est un état de balance à l'intérieur du système.

Types d'Équilibres

• Équilibre thermique : même température dans tout le système.
• Équilibre mécanique : pas de changement de pression avec le temps.
• Équilibre de phase : masse de chaque phase atteint un niveau stationnaire.
• Équilibre chimique : pas de changement de composition chimique avec le temps.

Processus et Cycle Thermodynamique

• Un processus est tout changement d'un état d'équilibre à un autre. Le chemin décrit est la série d'états traversés. Un cycle est un processus où l'état initial et final sont identiques.

Processus Quasi-Statique ou Quasi-Équilibre

• Le système reste infiniment proche d'un état d'équilibre à tout moments.

Phase et Substance Pure

• Phase : Quantité de matière homogène en composition et en structure physique.
• Substance pure : Composition chimique fixe.

La Loi Zéro de la Thermodynamique

• Si deux corps sont en équilibre thermique avec un troisième corps, alors ils sont en équilibre thermique entre eux.

Échelles de Température

• Celsius : $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$
• Fahrenheit : $T(^{\circ}F) = 1.8T(^{\circ}C) + 32$
• Rankine : $T(^{\circ}R) = T(^{\circ}F) + 459.67$

Pression

• Pression = force par unité de surface : $P = \frac{F}{A}$
• 1 Pa = 1 N/m2
• 1 bar = $10^5$ Pa
• 1 atm = 101 325 Pa

Pression Absolue et Relative

• Pression absolue : Pression réelle par rapport au vide absolu.
• Pression relative (gage) : Différence entre la pression absolue et atmosphérique.
• Pression de vide : Pression inférieure à atmosphérique.
• $P_{gage} = P_{abs} - P_{atm}$
• $P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}$

Première Loi de la Thermodynamique

• Exprime la conservation de l'énergie : $\Delta E_{system} = E_{in} - E_{out}$
  • $E_{in}$ : Énergie entrant dans le système
  • $E_{out}$ : Énergie quittant le système
  • $\Delta E_{system}$ : Changement de l'énergie du système
• Sous forme de taux : $\dot{E}{system} = \dot{E}{in} - \dot{E}_{out}$
• Pour un cycle : $\Delta E = 0$, donc $E_{in} = E_{out}$

Transfert d'Énergie

• L'énergie traverse la limite d'un système sous forme de chaleur ou de travail.

Chaleur et Travail

• Chaleur (Q) : Énergie transférée en raison d'une différence de température.
• Travail (W) : Énergie associée à une force agissant sur une distance.

Formules de Travail

• Travail Electrique : $W_e = V I \Delta t$
• Travail de l'Arbre : $W_{sh} = 2\pi n T$
• Travail du Ressort : $W_{spring} = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
• Travail effectué par une Pression : $W = \int_{1}^{2} P dV$
  • Processus Isotherme : $W = P_1V_1\ln(\frac{V_2}{V_1}) = P_1V_1\ln(\frac{P_1}{P_2})$
  • Processus Polytropique : $PV^n = constant$, $W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-n}$

Chaleurs Spécifiques

• Chaleur spécifique à volume constant ($c_v$) : énergie pour augmenter la température d'une unité de masse d'un degré à volume constant.
• Chaleur spécifique à pression constante ($c_p$) : énergie pour augmenter la température d'une unité de masse d'un degré à pression constante.
• $c_p = c_v + R$, avec R étant la constante des gaz.

Énergie Interne et Enthalpie

• Énergie Interne (U) : Énergie moléculaire du système.
• Enthalpie (H) : Propriété définie comme $H = U + PV$.
• Les gaz idéaux, l'énergie interne et l'enthalpie dépendent uniquement de la température :
  • $\Delta U = mc_v \Delta T$
  • $\Delta H = mc_p \Delta T$

Deuxième Loi de la Thermodynamique

• Les processus se déroulent dans une direction spécifique. Un processus doit satisfaire la première et la seconde loi.

Réservoirs d'Énergie Thermique

• Corps hypothétique avec grande capacité thermique pouvant fournir ou absorber des quantités finies de chaleur sans changer de température.

Moteurs Thermiques

• Convertissent la chaleur en travail avec une efficacité : $\eta_{th} = \frac{W_{net,out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}$

Réfrigérateurs

• Transfèrent la chaleur d'un milieu froid à chaud. Leur coefficient de performance est : $COP_R = \frac{Q_L}{W_{net,in}} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$

Pompes à Chaleur

• Transfèrent la chaleur d'un milieu froid à chaud. Leur coefficient de performance est : $COP_{HP} = \frac{Q_H}{W_{net,in}} = \frac{Q_H}{Q_H - Q_L} = COP_R + 1$

Processus Réversibles

• Processus inversible sans laisser de trace sur l'environnement, autrement irréversible.

Cycle de Carnot

• Cycle thermodynamique théorique le plus efficace.

Formules du Cycle de Carnot

• Moteur Thermique de Carnot : $\eta_{th,rev} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$
• Réfrigérateur de Carnot : $COP_{R,rev} = \frac{1}{\frac{T_H}{T_L} - 1}$
• Pompe à Chaleur de Carnot : $COP_{HP,rev} = \frac{1}{1 - \frac{T_L}{T_H}}$

Entropie

• Mesure l'énergie non disponible pour le travail utile : $\Delta S = \int_{1}^{2} \frac{dQ}{T}$

Processus Isentropique

• Processus où l'entropie reste constante.

Changement d'Entropie des Gaz Idéaux

• $\Delta s = c_v \ln(\frac{T_2}{T_1}) + R\ln(\frac{v_2}{v_1})$
• $\Delta s = c_p \ln(\frac{T_2}{T_1}) - R\ln(\frac{P_2}{P_1})$

Génération d'Entropie

• Mesure de l'irréversibilité d'un processus, toujours positive ou nulle.
• $S_{gen} = \Delta S_{system} - \frac{Q}{T}$

Plan d'Expérience : Criblage

• Le plan d'expériences permet d'identifier les facteurs influents sur la réponse. On évalue l'importance des effets principaux et des interactions

Facteurs et Niveaux

• Les facteurs à étudier sont définis avec leurs unités, ainsi que leurs niveaux bas (-) et haut (+).

Matrice du Plan d'Expérience

• Répartition des essais suivant un plan factoriel fractionnaire.

Analyse Statistique

• Modèle linéaire, Effets principaux (calculés par différence entre sommes des réponses), Interactions. Diagramme de Pareto pour la visualisation.

Interprétation

• Les facteurs significatifs, le sens des effets (positif ou négatif) et l'existence d'interactions sont identifiés.

Exemples Adversaires

• Les exemples adversaires sont les entrées de modèles d'apprentissage automatique intentionnellement conçues pour provoquer une erreur du modèle.

Formulation mathématique des exemples adversaires

$$ \mathop{argmax}\limits_{r}||r|| \le \epsilon L(x+r, y) $$

Où :

• $r$ est la perturbation
• $x$ est l'entrée d'origine
• $y$ est l'étiquette réelle
• $L$ est la fonction de perte
• $\epsilon$ est la perturbation maximale autorisée

Méthodes de génération

• Gradient-based methods
• Fast Gradient Sign Method (FGSM): $$x' = x + \epsilon \cdot sign(\Delta_x J(\theta, x, y))$$
• Optimization-based methods

Propriétés des exemples adversaires

• Transferability: Transfert inter-modèle.
• Targeted vs. Untargeted: Ciblés ou non.
• Black-box vs. White-box: En boite noire ou boite blanche.

Stratégies de défense

• Adversarial Training
• Formulation Min-max: $$ \mathop{min}\limits_{\theta} \mathbb{E}{(x, y) \sim D} [\mathop{max}\limits{\delta \in S} L(\theta, x + \delta, y)] $$
• Defensive Distillation

Transformation d'Entrée

• Cropping, resizing, JPEG compression, and denoising.
• Gradient Masking

Formation Adversariale

• Pour mettre en œuvre la formation adversariale, il faut: choisir une méthode d'attaque, générer des exemples adversaires, et reformer le modèle.

Défis liés à la formation adversariale

• La formation adversariale est coûteuse en calcul, peut créer un surapprentissage, et peut réduire la précision.

Preuve de Correction des triples de Hoare

• Triple de Hoare est valide, si chaque fois que P est valide, C termine et Q est valide.

Plus Faible Précondition

• Il faut garantir que la précondition est la plus faible $wp(C, Q)$ telle que ${wp(C, Q)} C {Q}$.

Définition Inductive de wp(C, Q)

• $wp(\text{skip}, Q) = Q$
• $wp(x := E, Q) = Q[E/x]$
• $wp(C_1; C_2, Q) = wp(C_1, wp(C_2, Q))$
• $wp(\text{if } B \text{ then } C_1 \text{ else } C_2, Q) = (B \rightarrow wp(C_1, Q)) \land (\neg B \rightarrow wp(C_2, Q))$
• $wp(\text{while } B \text{ do } C, Q) = I$$

Théorème

• Si on peut prouver ${P} C {Q}$ en utilisant les règles d’inférence, alors $\vDash {P} C {Q}$.

Parallelisme

• Loi d’Amdahl:
  • Fraction alpha parallélisable, le reste séquentiel pour faire le calcul du temps d’exécution avec N processeurs.
  • Calcul de la vitesse d’exécution et limite de la vitesse si le nombre de processeurs tend vers l’infini.
• Taxonomie de Flynn
  • SISD, SIMD, MISD, MIMD.
• Modèles de programmation parallèle
  • Mémoire partagée, Passage de messages.
  • Parallélisme de données.
• OpenMp
  • API pour la programmation parallèle en mémoire partagée.

Exemple de code

• Le code et la façon de le compiler. L’ordre de sortie du code n’est pas déterministe.

Boucle Parallelisée

• Directive pour distribuer les itérations de boucle entre les fils d’exécution.
• D’autres calendriers possibles.
  • Guide, dynamics et runtime.

Synchronisation

• Protection contre une condition de concurrence.
• Opération Atomique:
  • Garantie d’une exécution atomique.
  • S’applique seulement à des opérations simples.
• Barrière: point où tous les fils d’exécution doivent attendre que les autres arrivent.

Partage Intempestif

• Se produit quand des threads accèdent à des variables localisées sur la même ligne de cache.
  • Peut compromettre significativement les performances.
  • Pour l’éviter il faut assurer que les variables accédées par différents threads soient sur des lignes de cache différentes.

Définition Fonction Logarithme Népérien

• Fonction ln, définie sur $]0; +\infty[$, primitive de $x \longmapsto \frac{1}{x}$ s'annulant en 1.
• Conséquence : ln dérivable sur $]0; +\infty[$ avec dérivée : $(ln x)' = \frac{1}{x}$
• Propriétés Algébriques
• Pour a et b réels positifs, et n entier relatif :
  • $ln(1) = 0$
  • $ln(e) = 1$
  • $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
  • $ln(\frac{1}{a}) = -ln(a)$
  • $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
  • $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$
  • $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} ln(a)$

Etude Fonction ln

• Sens de Variation -Définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ avec $(ln x)' = \frac{1}{x}$. -Comme $\frac{1}{x} > 0$ pour $x > 0$, alors ln strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
• Limites
  • $\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
  • $\lim_{x \to 0} ln(x) = -\infty$ -ln n'est ni majorée, ni minorée.
• Courbe Représentative
• Dérivée de $ln(u(x))$ -Si u dérivable et strictement positive sur I, alors $ln(u)$ est dérivable sur I et : $(ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$
• Limites à Connaître
  • $\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$
  • $\lim_{x \to 0} x \cdot ln(x) = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0$
  • $\lim_{x \to 0} x^n \cdot ln(x) = 0$

Résolution d'Équations et d'Inéquations

• Fonction ln strictement croissante sur $]0; +\infty[$. Pour a et b réels positifs:
  • $ln(a) = ln(b) \Leftrightarrow a = b$
  • $ln(a) < ln(b) \Leftrightarrow a < b$
  • $ln(a) > ln(b) \Leftrightarrow a > b$

Mécanismes de Réaction

• Séquence d'étapes proposées pour une réaction.
• Étapes élémentaires unimoléculaires ou bimoléculaires.
• Ces étapes doivent se sommer à l'équation globale.
• Mécanisme en accord avec la loi de vitesse expérimentale.

Catalyseurs

• Augmentent la vitesse de réaction.
• Régénérés durant le processus.
• Peuvent être homogènes ou hétérogènes.

Intermédiaires

• Produits puis consommés au cours du processus.
• Ne sont pas régénérés.

Diagrammes d'Énergie Potentielle

 - Illustrent l'évolution de l'énergie potentielle lors d'une réaction, avec ou sans catalyseur.
 - Point important: L'état de transition (complexe activé).
 - L'étape déterminante est la plus lente (la plus grande énergie d'activation).

Mécanique Quantique

Définition : Théorie de la physique décrivant les propriétés de la nature à l’échelle des atomes et des particules subatomiques.

Concepts de base

• Quantité : les grandeurs physiques ne peuvent prendre que des valeurs discrètes.
• Dualité onde-particule : les particules ont une nature ondulatoire et inversement. -Principe d’