Негізгі тригонометриялық теңдеулер

Негізгі тригонометриялық теңдеулер

• Синус теңдеулері:

  • sin(x) = k, мұндағы k ∈ [-1, 1].
  • Шешімдер: x = arcsin(k) + 2πn немесе x = π - arcsin(k) + 2πn, n ∈ Z.

• Косинус теңдеулері:

  • cos(x) = k, мұндағы k ∈ [-1, 1].
  • Шешімдер: x = arccos(k) + 2πn немесе x = -arccos(k) + 2πn, n ∈ Z.

• Тангенс теңдеулері:

  • tan(x) = k.
  • Шешімдер: x = arctan(k) + πn, n ∈ Z.

• Котангенс теңдеулері:

  • cot(x) = k.
  • Шешімдер: x = arccot(k) + πn, n ∈ Z.

Тригонометриялық функциялардың графиктері

• Синус графигі:

  • Период: 2π.
  • Амплитуда: 1.
  • Нүктелер: (0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,-1), (2π,0).

• Косинус графигі:

  • Период: 2π.
  • Амплитуда: 1.
  • Нүктелер: (0,1), (π/2,0), (π,-1), (3π/2,0), (2π,1).

• Тангенс графигі:

  • Период: π.
  • Амплитуда: шексіз.
  • Нүктелер: (0,0), (π/4,1), (π/2, шексіз), (3π/4,-1), (π,0).

• Котангенс графигі:

  • Период: π.
  • Амплитуда: шексіз.
  • Нүктелер: (0, шексіз), (π/4,0), (π/2,-1), (3π/4,1), (π, шексіз).

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

1. Теңдеуді қарапайымдандыру:

   • Теңдеуді негізгі тригонометриялық функцияларға түрлендіру.
   • Идентификациялар мен формулаларды қолдану.

2. Функционалдық идентификациялар:

   • sin²(x) + cos²(x) = 1.
   • 1 + tan²(x) = sec²(x).
   • 1 + cot²(x) = csc²(x).

3. Графикалық әдіс:

   • Функциялардың графиктерін сызу.
   • Графиктердің қиылысу нүктелерін табу.

4. Алгебралық әдіс:

   • Теңдеудің екі жағына да бірдей функцияларды қолдану.
   • Теңдеуді шешу үшін алгебралық операцияларды пайдалану.

5. Теңдеулерді жүйелеу:

   • Көп теңдеулер жүйесін шешу.
   • Мұндай жүйелерде әртүрлі тригонометриялық функцияларды біріктіру.

Негізгі тригонометриялық теңдеулер

• Синус теңдеулері:
  • sin(x) = k, k ∈ [-1, 1].
  • Шешімдер: x = arcsin(k) + 2πn және x = π - arcsin(k) + 2πn, n ∈ Z.
• Косинус теңдеулері:
  • cos(x) = k, k ∈ [-1, 1].
  • Шешімдер: x = arccos(k) + 2πn және x = -arccos(k) + 2πn, n ∈ Z.
• Тангенс теңдеулері:
  • tan(x) = k.
  • Шешімдер: x = arctan(k) + πn, n ∈ Z.
• Котангенс теңдеулері:
  • cot(x) = k.
  • Шешімдер: x = arccot(k) + πn, n ∈ Z.

Тригонометриялық функциялардың графиктері

• Синус графигі:
  • Период: 2π.
  • Амплитуда: 1.
  • Нүктелер: (0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,-1), (2π,0).
• Косинус графигі:
  • Период: 2π.
  • Амплитуда: 1.
  • Нүктелер: (0,1), (π/2,0), (π,-1), (3π/2,0), (2π,1).
• Тангенс графигі:
  • Период: π.
  • Амплитуда: шексіз.
  • Нүктелер: (0,0), (π/4,1), (π/2, шексіз), (3π/4,-1), (π,0).
• Котангенс графигі:
  • Период: π.
  • Амплитуда: шексіз.
  • Нүктелер: (0, шексіз), (π/4,0), (π/2,-1), (3π/4,1), (π, шексіз).

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері

• Теңдеуді қарапайымдандыру:
  • Негізгі тригонометриялық функцияларға түрлендіру.
  • Идентификациялар мен формулаларды қолдану.
• Функционалдық идентификациялар:
  • sin²(x) + cos²(x) = 1.
  • 1 + tan²(x) = sec²(x).
  • 1 + cot²(x) = csc²(x).
• Графикалық әдіс:
  • Функциялардың графиктерін сызу.
  • Графиктердің қиылысу нүктелерін табу.
• Алгебралық әдіс:
  • Теңдеудің екі жағына да бірдей функцияларды қолдану.
  • Алгебралық операцияларды пайдалану.
• Теңдеулерді жүйелеу:
  • Көп теңдеулер жүйесінің шешуі.
  • Әртүрлі тригонометриялық функцияларды біріктіру.