न्यूनतम सामान्य गुणज (LCM)

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। यहाँ अपडेटेड स्टडी नोट्स हैं:

• LCM का मतलब है Least Common Multiple (न्यूनतम सामान्य गुणज)।
• दो या दो से अधिक पूर्णांकों का LCM सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जो प्रत्येक पूर्णांक से विभाज्य होता है।
• LCM को समझना विभिन्न गणितीय कार्यों में मौलिक है, खासकर जब भिन्नों और संख्या सिद्धांत से निपटना हो।

LCM ज्ञात करने की विधियाँ

• गुणजों की सूची बनाना: प्रत्येक संख्या के गुणजों को तब तक सूचीबद्ध करें जब तक कि एक उभयनिष्ठ गुणज न मिल जाए। सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज LCM होता है।
• अभाज्य गुणनखंडन: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें। LCM प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है जो किसी भी गुणनखंडन में दिखाई देता है।

गुणजों की सूची बनाना विधि

• प्रत्येक संख्या के गुणजों को तब तक सूचीबद्ध करें जब तक कि एक उभयनिष्ठ गुणज की पहचान न हो जाए।
• सबसे छोटा गुणज जो सभी सूचियों में दिखाई देता है, LCM होता है।
• उदाहरण: 4 और 6 का LCM ज्ञात करें।
• 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
• 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, ...
• 4 और 6 का LCM 12 है।

अभाज्य गुणनखंडन विधि

• प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।
• उन सभी अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें जो किसी भी गुणनखंडन में दिखाई देते हैं।
• प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए, उच्चतम घात लें जो किसी भी गुणनखंडन में दिखाई देती है।
• LCM प्राप्त करने के लिए इन उच्चतम घातों को एक साथ गुणा करें।
• उदाहरण: 8 और 12 का LCM ज्ञात करें।
• 8 का अभाज्य गुणनखंडन: 2^3।
• 12 का अभाज्य गुणनखंडन: 2^2 * 3।
• अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
• 2 की उच्चतम घात: 2^3।
• 3 की उच्चतम घात: 3^1।
• 8 और 12 का LCM: 2^3 * 3 = 8 * 3 = 24।

सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) का उपयोग करके LCM ज्ञात करना

• दो संख्याओं का LCM उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।
• LCM(a, b) = |a * b| / GCD(a, b), जहाँ a और b दो संख्याएँ हैं।
• सबसे पहले, दो संख्याओं का GCD ज्ञात करें।
• फिर, संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा करें और उनके GCD से विभाजित करें।
• उदाहरण: 15 और 25 का LCM ज्ञात करें।
• GCD(15, 25) = 5।
• LCM(15, 25) = (15 * 25) / 5 = 375 / 5 = 75।

LCM के अनुप्रयोग

• भिन्नों को जोड़ना और घटाना: असमान हरों वाले भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए हरों का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।
• समय-निर्धारण समस्याएँ: यह निर्धारित करना कि घटनाएँ कब मेल खाएँगी, जैसे कि नियमित कार्यों को निर्धारित करना जो अलग-अलग अंतरालों पर होते हैं।
• संख्या सिद्धांत: विभाज्यता और मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित विभिन्न संख्या सिद्धांत समस्याओं में उपयोग किया जाता है।

भिन्नों को जोड़ना और घटाना

• भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उनके हर समान होने चाहिए।
• सबसे छोटा सामान्य हर (LCD) भिन्नों के हरों का LCM होता है।
• उदाहरण: 1/6 और 1/8 जोड़ें।
• 6 और 8 का LCM ज्ञात करें।
• 6 का अभाज्य गुणनखंडन: 2 * 3।
• 8 का अभाज्य गुणनखंडन: 2^3।
• 6 और 8 का LCM: 2^3 * 3 = 24।
• दोनों भिन्नों को 24 के हर में बदलें।
• 1/6 = 4/24।
• 1/8 = 3/24।
• 1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24।

समय-निर्धारण समस्याएँ

• LCM यह निर्धारित करने में मदद करता है कि विभिन्न आवधिकताओं वाली घटनाएँ एक साथ कब घटित होंगी।
• उदाहरण: एक बस हर 15 मिनट में चलती है, और दूसरी बस हर 20 मिनट में चलती है। यदि वे दोनों एक ही समय पर शुरू होती हैं, तो वे अगली बार एक साथ कब शुरू होंगी?
• 15 और 20 का LCM ज्ञात करें।
• 15 का अभाज्य गुणनखंडन: 3 * 5।
• 20 का अभाज्य गुणनखंडन: 2^2 * 5।
• 15 और 20 का LCM: 2^2 * 3 * 5 = 60।
• बसें 60 मिनट में फिर से एक साथ शुरू होंगी।

टिप्स और ट्रिक्स

• छोटी संख्याओं के लिए, गुणजों की सूची बनाना अक्सर सबसे आसान तरीका होता है।
• बड़ी संख्याओं के लिए, अभाज्य गुणनखंडन या GCD का उपयोग करना अधिक कुशल होता है।
• LCM को कुशलतापूर्वक ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंडन को समझना आवश्यक है।

अभ्यास समस्याएँ

• 12 और 18 का LCM ज्ञात करें।
• 9 और 15 का LCM ज्ञात करें।
• 6, 8 और 10 का LCM ज्ञात करें।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM

• LCM की अवधारणा तीन या अधिक संख्याओं तक फैली हुई है।
• कोई भी पहले दो संख्याओं का LCM ज्ञात करके कई संख्याओं का LCM ज्ञात कर सकता है, और फिर उस परिणाम का LCM अगली संख्या के साथ ज्ञात कर सकता है, और इसी तरह।
• उदाहरण: 4, 6 और 10 का LCM ज्ञात करें।
• सबसे पहले, 4 और 6 का LCM ज्ञात करें: LCM(4, 6) = 12।
• फिर, 12 और 10 का LCM ज्ञात करें।
• 12 का अभाज्य गुणनखंडन: 2^2 * 3।
• 10 का अभाज्य गुणनखंडन: 2 * 5।
• 12 और 10 का LCM: 2^2 * 3 * 5 = 60।
• 4, 6 और 10 का LCM 60 है।

सामान्य गलतियाँ जिनसे बचना चाहिए

• सभी अभाज्य गुणनखंडों को शामिल करना भूल जाना: सुनिश्चित करें कि अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करते समय प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल हैं।
• अभाज्य गुणनखंडों की निचली घातों का उपयोग करना: हमेशा प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लें।
• अंकगणितीय त्रुटियाँ: गणनाओं को दोबारा जाँचें, खासकर जब बड़ी संख्याओं से निपट रहे हों।