Натуральные числа: Основные свойства

Натуральные числа

Основные свойства

• Определение: Натуральные числа — это числа, используемые для счета и упорядочивания. Обычно обозначаются символом ℕ и включают 1, 2, 3, и так далее.
• Неотрицательность: Все натуральные числа положительны (то есть ≥ 1).
• Совершенное множество: Натуральные числа формируют бесконечное множество.
• Одинство и счет: Существует натуральное число 1, которое является первым числом.

Операции с натуральными числами

• Сложение:
  • Коммутативно: a + b = b + a.
  • Ассоциативно: (a + b) + c = a + (b + c).
• Умножение:
  • Коммутативно: a × b = b × a.
  • Ассоциативно: (a × b) × c = a × (b × c).
• Деление: Разделение на натуральные числа может приводить к нецелым результатам и не всегда определено в ℕ (например, 1 ÷ 2 не является натуральным числом).
• Вычитание: Может привести к отрицательным числам (например, 1 - 2 = -1), что выходит за пределы натуральных чисел.

Первые числа и делимость

• Первые числа: Относится к числам, начиная с 1. Первые несколько натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Делимость:
  • Число a делится на b, если существует натуральное число k такое, что a = b × k.
  • Примеры делимости:
    • 6 делится на 3 (в результате деления 6/3 = 2).
    • 8 не делится на 3 (остаток 2).
• Простые числа: Натуральные числа, больше 1, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11 и др.
• Составные числа: Натуральные числа, которые имеют больше двух делителей. Примеры: 4, 6, 8, 9 и др.

Табиғи сандар

• Анықтама: Табиғи сандар - бұл есептеу және реттеу үшін қолданылатын сандар. Әдетте ℕ символымен белгіленеді және 1, 2, 3 және т.с.с. кіреді.
• Тереңдік: Барлық табиғи сандар оң (яғни ≥ 1).
• Толық жиын: Табиғи сандар шексіз жиынтық құрайды.
• Бірлік және есептеу: Бірінші сан болып табылатын 1 деген табиғи сан бар.

Табиғи сандармен операциялар

• Қосу:
  • Коммутативті: a + b = b + a.
  • Ассоциативті: (a + b) + c = a + (b + c).
• Көбейту:
  • Коммутативті: a × b = b × a.
  • Ассоциативті: (a × b) × c = a × (b × c).
• Бөлу: Табиғи сандарға бөлу бүтін емес нәтижелерге әкелуі мүмкін және әрдайым ℕ-де анықталмайды (мысалы, 1 ÷ 2 - табиғи сан емес).
• Азайту: Теріс сандарға әкелуі мүмкін (мысалы, 1 - 2 = -1), бұл табиғи сандардың шегінен шығады.

Алғашқы сандар және бөлінетіндік

• Алғашқы сандар: 1-ден бастап сандарға қатысты. Алғашқы бірнеше табиғи сандар: 1, 2, 3, 4, 5,...
• Бөлінетіндік:
  • a саны b санына бөлінеді, егер a = b × k болатын табиғи сан k болса.
  • Бөлінетіндік мысалдары:
    • 6 саны 3 санына бөлінеді (6/3 = 2 бөлу нәтижесінде).
    • 8 саны 3 санына бөлінбейді (қалдық 2).
• Жабайы сандар: 1-ден үлкен және тек екі бөлгішке ие табиғи сандар: 1 және санның өзі. Мысалдар: 2, 3, 5, 7, 11 және т.с.с.
• Күрделі сандар: Екіден артық бөлгішке ие болатын табиғи сандар. Мысалдар: 4, 6, 8, 9 және т.с.с.