مشتق الدوال - قواعد الاشتقاق

مشتق الدوال

• تُعرّف مشتقة الدالة على أنها معدل تغير الدالة بالنسبة للتغير في متغيرها المستقل.
• تُستخدم مشتقة الدالة لتحديد ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة.
• تُستخدم مشتقة الدالة لحل العديد من المسائل في الرياضيات والفيزياء والكيمياء وغيرها من المجالات.

قواعد اشتقاق الدوال

• قاعدة الدالة الثابتة: مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا.
  • مثال: f(x) = 5
    • f'(x) = 0
• قاعدة القوة: مشتقة الدالة x^n تساوي nx^(n-1).
  • مثال: f(x) = x^5
    • f'(x) = 5x^4
  • مثال: f(x) = \frac{1}{x^3}
    • نُعاد كتابة الدالة كالتالي: f(x) = x^(-3)
    • f'(x) = (-3)x^(-4) = \frac{-3}{x^4}
• قاعدة ثابت مضروب بدالة: مشتقة ثابت مضروب بدالة تساوي الثابت مضروبًا بمشتقة الدالة.
  • مثال: f(x) = 10x^2
    • f'(x) = 10 (2x) = 20x
• قاعدة جمع أو طرح الدوال: مشتقة مجموع أو طرح دالتين تساوي مجموع أو طرح مشتقتيهما.
  • مثال: f(x) = x^2 - 5x
    • f'(x) = 2x - 5
  • مثال: f(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - x + 50
    • f'(x) = 20x^3 - 24x^2 + 6x - 1
• قاعدة الضرب: مشتقة حاصل ضرب دالتين تساوي: مشتقة الأولى مضروبة بالثانية زائد مشتقة الثانية مضروبة بالأولى.
  • مثال: f(x) = (x^2 - 5)(x - x^3)
  • f'(x) = (2x)(x - x^3) + (1 - 3x^2)(x^2 - 5) = -5x^4 + 18x^2 - 5
• قاعدة القسمة: مشتقة حاصل قسمة دالتين تساوي : (مشتقة البسط مضروبة بالمقام ناقص مشتقة المقام مضروبة بالبسط) مقسومة على مربع المقام.
  • مثال: f(x) = \frac{1}{x^3}
    • f'(x) = \frac{(x^3)(0) - (1)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{- 3x^2}{x^6} = \frac{-3}{x^4}
  • مثال: f(x) = \frac{3x^2 - 5}{1 - x^3}
    • f'(x) = \frac{(1 - x^3)(6x) - (3x^2 - 5)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2} = \frac{3x^4 - 15x^2 + 6x}{(1 - x^3)^2}
• قاعدة دالة مرفوعة للقوة: مشتقة دالة مرفوعة للقوة تساوي: القوة مضروبة بالدالة مرفوعة للقوة ناقص واحد مضروبة بمشتقة الدالة
  • مثال: f(x) = (7x^4 - 5x - 9)^1
    • f'(x) = 1 (7x^4 - 5x - 9)^0 (28x^3 - 5) = 28x^3 - 5
  • مثال: f(x) = (\frac{3x}{1-x^2})^5
    • f'(x) = 5 (\frac{3x}{1-x^2})^4 * \frac{(1-x^2)(3) - (3x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{15x^4 - 75x^2 + 30x}{(1-x^2)^6}
• قاعدة الدوال الأسية (الأساس e): مشتقة الدالة e^(u(x)) تساوي: u'(x) * e^(u(x))
  • مثال: f(x) = e^x
    • f'(x) = 1 * e^x = e^x
  • مثال: f(x) = e^(-x^2 + 2x)
    • f'(x) = (-2x + 2 )e^(-x^2 + 2x)
• قاعدة اللوغاريتم الطبيعي: مشتقة الدالة ln(u(x)) تساوي: u'(x) / u(x)
  • مثال: f(x) = ln(x)
    • f'(x) = 1/x
• قاعدة السلسلة: تُستخدم هذه القاعدة لاشتقاق دالة مركبة، وهي دالة تتكون من دالتين أو أكثر حيثُ تُدخل نتيجة إحدى الدوال كمدخل للدالة الأخرى.
  • مثال: y = f(u) و u = g(x)
    • \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx}
• مشتقات الدوال المثلثية:
  • sin(x) : cos(x)
  • cos(x) : -sin(x)
  • tan(x) : sec^2(x)
  • sec(x) : sec(x)tan(x)
  • csc(x): -csc(x)cot(x)
  • cot(x): -csc^2(x)
• مشتقات الدوال المثلثية مع دالة داخلية:
  • sin(u(x)) : cos(u(x)) * u'(x)
  • cos(u(x)) : -sin(u(x)) * u'(x)
  • tan(u(x)) : sec^2(u(x)) * u'(x)
  • sec(u(x)) : sec(u(x))tan(u(x)) * u'(x)
  • csc(u(x)): -csc(u(x))cot(u(x)) * u'(x)
  • cot(u(x)): -csc^2(u(x)) * u'(x)

مشتقات الرتب العالية

• تُعرّف مشتقة الرتبة الثانية على أنّها مشتقة مشتقة الدالة.
• تُستخدم مشتقات الرتب العالية لدراسة سلوك الدالة، مثل تقوسها ونقط التحول.

يتناول هذا الاختبار قواعد الاشتقاق الأساسية للدوال الرياضية وكيفية تطبيقها. سيتم استكشاف مشتقات الدوال الثابتة، وقواعد القوة، وأيضًا كيفية اشتقاق ثوابت مضروبة بدوال. إن إتقان هذه القواعد ضروري لفهم الرياضيات المتقدمة.