مشتق الدوال - قواعد الاشتقاق

مشتق الدوال

• تُعرّف مشتقة الدالة على أنها معدل تغير الدالة بالنسبة للتغير في متغيرها المستقل.
• تُستخدم مشتقة الدالة لتحديد ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة.
• تُستخدم مشتقة الدالة لحل العديد من المسائل في الرياضيات والفيزياء والكيمياء وغيرها من المجالات.

قواعد اشتقاق الدوال

• قاعدة الدالة الثابتة: مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا.
  • مثال: f(x) = 5
    • f'(x) = 0
• قاعدة القوة: مشتقة الدالة x^n تساوي nx^(n-1).
  • مثال: f(x) = x^5
    • f'(x) = 5x^4
  • مثال: f(x) = \frac{1}{x^3}
    • نُعاد كتابة الدالة كالتالي: f(x) = x^(-3)
    • f'(x) = (-3)x^(-4) = \frac{-3}{x^4}
• قاعدة ثابت مضروب بدالة: مشتقة ثابت مضروب بدالة تساوي الثابت مضروبًا بمشتقة الدالة.
  • مثال: f(x) = 10x^2
    • f'(x) = 10 (2x) = 20x
• قاعدة جمع أو طرح الدوال: مشتقة مجموع أو طرح دالتين تساوي مجموع أو طرح مشتقتيهما.
  • مثال: f(x) = x^2 - 5x
    • f'(x) = 2x - 5
  • مثال: f(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 - x + 50
    • f'(x) = 20x^3 - 24x^2 + 6x - 1
• قاعدة الضرب: مشتقة حاصل ضرب دالتين تساوي: مشتقة الأولى مضروبة بالثانية زائد مشتقة الثانية مضروبة بالأولى.
  • مثال: f(x) = (x^2 - 5)(x - x^3)
  • f'(x) = (2x)(x - x^3) + (1 - 3x^2)(x^2 - 5) = -5x^4 + 18x^2 - 5
• قاعدة القسمة: مشتقة حاصل قسمة دالتين تساوي : (مشتقة البسط مضروبة بالمقام ناقص مشتقة المقام مضروبة بالبسط) مقسومة على مربع المقام.
  • مثال: f(x) = \frac{1}{x^3}
    • f'(x) = \frac{(x^3)(0) - (1)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{- 3x^2}{x^6} = \frac{-3}{x^4}
  • مثال: f(x) = \frac{3x^2 - 5}{1 - x^3}
    • f'(x) = \frac{(1 - x^3)(6x) - (3x^2 - 5)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2} = \frac{3x^4 - 15x^2 + 6x}{(1 - x^3)^2}
• قاعدة دالة مرفوعة للقوة: مشتقة دالة مرفوعة للقوة تساوي: القوة مضروبة بالدالة مرفوعة للقوة ناقص واحد مضروبة بمشتقة الدالة
  • مثال: f(x) = (7x^4 - 5x - 9)^1
    • f'(x) = 1 (7x^4 - 5x - 9)^0 (28x^3 - 5) = 28x^3 - 5
  • مثال: f(x) = (\frac{3x}{1-x^2})^5
    • f'(x) = 5 (\frac{3x}{1-x^2})^4 * \frac{(1-x^2)(3) - (3x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{15x^4 - 75x^2 + 30x}{(1-x^2)^6}
• قاعدة الدوال الأسية (الأساس e): مشتقة الدالة e^(u(x)) تساوي: u'(x) * e^(u(x))
  • مثال: f(x) = e^x
    • f'(x) = 1 * e^x = e^x
  • مثال: f(x) = e^(-x^2 + 2x)
    • f'(x) = (-2x + 2 )e^(-x^2 + 2x)
• قاعدة اللوغاريتم الطبيعي: مشتقة الدالة ln(u(x)) تساوي: u'(x) / u(x)
  • مثال: f(x) = ln(x)
    • f'(x) = 1/x
• قاعدة السلسلة: تُستخدم هذه القاعدة لاشتقاق دالة مركبة، وهي دالة تتكون من دالتين أو أكثر حيثُ تُدخل نتيجة إحدى الدوال كمدخل للدالة الأخرى.
  • مثال: y = f(u) و u = g(x)
    • \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx}
• مشتقات الدوال المثلثية:
  • sin(x) : cos(x)
  • cos(x) : -sin(x)
  • tan(x) : sec^2(x)
  • sec(x) : sec(x)tan(x)
  • csc(x): -csc(x)cot(x)
  • cot(x): -csc^2(x)
• مشتقات الدوال المثلثية مع دالة داخلية:
  • sin(u(x)) : cos(u(x)) * u'(x)
  • cos(u(x)) : -sin(u(x)) * u'(x)
  • tan(u(x)) : sec^2(u(x)) * u'(x)
  • sec(u(x)) : sec(u(x))tan(u(x)) * u'(x)
  • csc(u(x)): -csc(u(x))cot(u(x)) * u'(x)
  • cot(u(x)): -csc^2(u(x)) * u'(x)

مشتقات الرتب العالية

• تُعرّف مشتقة الرتبة الثانية على أنّها مشتقة مشتقة الدالة.
• تُستخدم مشتقات الرتب العالية لدراسة سلوك الدالة، مثل تقوسها ونقط التحول.