مراجعة الأعداد المركبة

مراجعة الأعداد المركبة

• الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية في مجموعة الأعداد الحقيقية.
• تم اختراع الأعداد التخيلية بحيث يكون للأعداد السالبة جذور تربيعية وبعض المعادلات لها حلول.
• تم ابتكار هذه الأرقام باستخدام وحدة تخيلية تسمى j.
• يستخدم الرياضيون الرمز i لهذا الرقم، لكن المهندسين الكهربائيين يستخدمون j.
• i و j يساوي الجذر التربيعي لـ -1.
• الحرف j يمثل الأرقام التي مربعها -1.
• إذا كان a عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن الجذر التربيعي لـ a السالب هو العدد التخيلي j√a.
• مثال: √-4 = j√4 = j2
• مثال: √-36 = j√36 = j6
• العدد المركب هو رقم على الصورة a + jb، حيث a و b أعداد حقيقية و j = √-1.
• العدد a هو الجزء الحقيقي من a + jb، و b هو الجزء التخيلي منه.
• مثال على الأعداد المركبة: z = a + jb، حيث a هو الجزء الحقيقي و jb هو الجزء التخيلي.
• مثال: z = 2 + j7
• يتم تمثيل الأعداد المركبة كنقاط في المستوى المركب، حيث يتم رسم الجزء الحقيقي على طول المحور الأفقي (أو "المحور الحقيقي") والجزء التخيلي مرسوم على طول المحور الرأسي (أو "المحور التخيلي").
• الأعداد الحقيقية تكون بالصيغة a + j0، والأعداد التخيلية تكون بالصيغة 0 + jb.
• يمكن التعبير عن أي عدد مركب في ثلاثة أشكال: الشكل المستطيل، والشكل القطبي، والشكل الأسي.

الشكل المستطيل

• يأخذ الشكل المستطيل رقمًا مركبًا z ويُكتب على شكل مجموع جزء حقيقي x وجزء تخيلي y: z = x + jy.
• مثال: z = 3 + j4

الشكل القطبي

• يأخذ الشكل القطبي عددًا مركبًا z ويُكتب على شكل مقدار r بزاوية : z = r∠ф.
• يتم قياس الزاوية  من المحور الحقيقي الموجب.
• مثال: z = 5  

الشكل الأسي

• الأعداد المركبة تُكتب أيضًا في الصيغة الأسية.
• مثال: z = 5 e j 53.1

الصيغة الأسية

• Polar form: r∠  Exponential Form: r ej
• Example: 330  3e j30

تحويل الأشكال المستطيلة إلى القطبية

• لتحويل عدد مركب z بجزء حقيقي x وجزء تخيلي y، يتم إعطاء المقدار بالصيغة r = √(x² + y²)، ويتم إعطاء الزاوية بالصيغة ф = tan⁻¹(y/x).
• إذن z = r∠ф

تحويل الأشكال القطبية إلى المستطيلة

• لعدد مركب z بمقدار r وزاوية ، يتم إعطاء الجزء الحقيقي بالعلاقة x = r cos ، ويتم إعطاء الجزء التخيلي بالعلاقة y = r sin .
• إذن z = x +jy

صيغة أويلر

• يعتمد الشكل الأسي على هوية أويلر، التي تنص على أنه لأي ، ej = cos  + j sin 
• re j = r (cos+jsin)= r cos+ jr sin = x +j y

الجمع والطرح

• يُعد جمع وطرح الأعداد المركبة أسهل إذا كانت الأرقام في الصورة المستطيلة.
• الخطوات:
  • اكتُب كل عدد مركب في الصورة a + jb.
  • اجمع أو اطرح الأجزاء الحقيقية للأعداد المركبة.
  • اجمع أو اطرح الأجزاء التخيلية للأعداد المركبة.
• Add: (a +jb ) + (c + jd ) = (a + c) + (jb +jd ) = (a + c) + j(b + d )
• Subtract: (a +jb ) – (c + jd ) = (a +jb ) + (– c – jd ) = (a – c) + (jb – jd ) = (a – c) + j(b – d )
• Addition Example: Add (11 + j5) + (8 – j2 ) = (11 + 8) + (j5 – j2 ) = 19 + j3
• Addition Example: Add (10 + √-5 ) + (21 – √-5) = (10 + j √5) + (21 – j √5 ) = (10 + 21) + (j √5 – j √5) = 31
• Subtraction example: Subtract: (– 21 + j3 ) – (7 – j9) = (– 21 + j3 ) + (– 7 + j9) = (– 21 – 7) + (j 3 + j9) = (– 21 – 7) + j(3 + 9) = –28 + j12
• Subtraction example: Subtract: (11 + √-16) – (6 + √-9 ) = (11 + j √16) – (6 + j √9 ) = (11 + j √16) + (– 6 –j √9 ) = (11 – 6) + (j √16 –j √9 ) = (11 – 6) + (j4 – j3) =5+j

الضرب

• يكون ضرب الأعداد المركبة أسهل إذا كانت الأرقام في الصورة القطبية.
• لنفترض أن Z₁ = r₁ ₁ و z₂ = r₂ ₂
• إذن z₁  z₂ = (r₁r₂)  (₁+ ₂)
• في الصيغة القطبية، اضرب مقادير رقمين مركبين، واجمع زواياهما للحصول على مقدار وزاوية الناتج.

الضرب في الشكل المستطيل

• (a + jb)(c + jd ) = ac +jad + jbc + j2bd
• (a + jb)(c + jd ) = ac +jad + jbc +(-1)bd
• (a + jb)(c + jd ) = (ac – bd ) +j(ad + bc)
• Use the FOIL method to find the product.
• Replace j2 by – 1.
• Write the answer in the form a + jb.
• Multiplication Example: √– 25 √− 5 = j √25 j √5 = j5 j √5 = 5j2 √5 = 5 (–1) √5 = –5 √5
• Multiplication Example: j7 (11– j5) = j77 – j235 = j77 – (– 1)35 = 35 + j77
• Multiplication Example: (2 + j3)(6 – j7 ) = 12 – j14 + j18 – j221 = 12 + j4 – j221 = 12 + j4 – (–1)21 = 12 + j4 + 21 = 33 + j4
• Multiplication Example: z₁ = 2 10 and z₂ = 4 40 → z₁*z₂ = (2 10) * (4 40 ) = 8 50
• Multiplication Example: z1 = 12.81 51.34 and z2 = 6.4 -38.66 → z1*z2 = (12.81 51.34) * (6.4 -38.66)= 81.984 12.68

المرافق المركب

• بالنظر إلى عدد مركب في الصيغة المستطيلة، z = x + jy، فإن مرافقه المركب هو ببساطة z* = x − jy. بالنظر إلى عدد مركب في الصيغة القطبية، z = r ، فإن مرافقه المركب هو ببساطة z* = r −.
• The product of conjugates is the real number a2 + b2.
• (a + jb)(a – jb) = a2 – j2b2 = a2 – (– 1)b2 = a2 + b2 , and (r )( r −)= r 2
• Example: (5 + j2)(5 – j2) = (52 – j24) = 25 – (–1) 4 = 29
• Example: (5 45)( 5 −45)= 25

القسمة في الشكل القطبي

• يكون قسمة الأعداد المركبة أيضًا أسهل إذا كانت الأرقام في الصورة القطبية.
• لنفترض أن z₁ = r₁ ₁ و z₂ = r₂ ₂
• إذن z₁ ÷ z₂ = (r₁ ÷ r₂)  (₁ − ₂)
• في الصيغة القطبية، لتقسيم رقمين مركبين، قسّم مقاديرهما للحصول على مقدار الناتج، واطرح زواياهما للحصول على زاوية الناتج.

القسمة في الشكل المستطيل

• التعبير المنطقي، الذي يحتوي على عدد أو أكثر من الأعداد المركبة، يكون في أبسط صورة عندما لا توجد أعداد تخيلية متبقية في المقام.
• Example: (5+3)/(2+i) = (5+3 2-)/(2+i 2-) = (10 − 5 + 6 − 3 2)/(2 2 + 12) = (10 + − 3 (–1))/(4 +1)=(13)/5
• Example: if z₁ = 6 / 26.57 and z₂ = 3 / -18.43, then (z₁)/(z₂) = (6/26)/(3∠-18) =(2/45)