Momentum relativiste et atome d'hydrogène

• Le document traite du momentum relativiste et de l'atome d'hydrogène, y compris l'équation de Schrödinger et les nombres quantiques.

Momentum Relativiste

• Dans la mécanique classique, le momentum est défini comme le produit de la masse et de la vitesse ($p=mv$), mais cela n'est valable que pour des vitesses bien inférieures à celle de la lumière ($v « c$).
• Lorsque la vitesse s'approche de celle de la lumière, l'équation du momentum devient : $p=γmv$
• $γ$ est le facteur de Lorentz, donné par : $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
  • Pour $v « c, γ$ est approximativement égal à 1, ce qui réduit l'équation au momentum classique.
• Un proton accéléré à une vitesse de $0.990c$ a un momentum de $3.51 \times 10^{-18} kg \cdot m/s$.

L'Atome d'Hydrogène

• L'équation de Schrödinger est exprimée comme : $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi = E\Psi$
  • $ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $
• Pour l'atome d'hydrogène, le potentiel $V(r)$ est : $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
• En coordonnées sphériques, l'opérateur Laplacien $∇^2$ est exprimé différemment.
• L'équation de Schrödinger peut être résolue en utilisant la séparation des variables, où la fonction d'onde est exprimée comme un produit de fonctions radiale et angulaire : $\qquad \Psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi)$
  • $Y(\theta, \phi)$ représentent les harmoniques sphériques.
• L'équation radiale est donnée par : $[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d}{dr}) + \frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}]R(r) = ER(r)$

Nombres Quantiques

• n : nombre quantique principal, avec des valeurs entières positives (1, 2, 3, ...).
• l : nombre quantique orbital, variant de 0 à n-1 (0, 1, 2, ..., n-1).
• ml : nombre quantique magnétique, allant de -l à +l ( -l, -l+1, ..., 0, ..., l-1, l).

Fonctions d'Onde

• Les fonctions d'onde radiales sont données par : $R_{nl}(r) = \sqrt{(\frac{2}{na_0})^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}e^{-r/na_0}(\frac{2r}{na_0})^lL_{n-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{na_0})$
  • $a_0$ représente le rayon de Bohr, défini comme $\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}$
  • $L_i^j(x)$ sont les polynômes de Laguerre associés.

Niveaux d'Énergie

• Les niveaux d'énergie sont quantifiés et donnés par : $E_n = -\frac{me^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6eV}{n^2}$