Modelización: Asignación de Probabilidades Iniciales

Concepto de modelización

• La asignación inicial de probabilidades es una forma de tratar fenómenos aleatorios.
• El supuesto inicial de probabilidad constituye un modelo, una anticipación de lo que se espera que suceda.
• Los modelos no son arbitrarios, deben tener razones para sostenerse, y son aproximaciones a la realidad.
• La modelización simplifica lo observado, pero puede ser más o menos adecuada a la realidad.
• La simplificación implica elegir aspectos de la realidad para construir un modelo que asigne probabilidades.
• El uso de modelos no menoscaba la complejidad de los fenómenos sociales, a menos que se confunda el modelo con la realidad.
• Un modelo de probabilidad permite calcular probabilidades de manera sencilla bajo ciertos supuestos.
• El modelo que resume iguales chances para todos los resultados se llama distribución uniforme.
• La distribución uniforme es válida para un dado equilibrado y para cualquier fenómeno aleatorio con resultados igualmente probables.
• Expresión formal del modelo: "Si un experimento aleatorio tiene distribución uniforme y k resultados posibles, entonces P(A) = 1/k".
• Para una moneda, la probabilidad de cada cara es ½ ; para un dado, cada lado tiene probabilidad 1/6.
• La representación gráfica de este modelo transmite la uniformidad mediante la igual altura de todas las columnas.

Distribuciones de probabilidad

• Además del modelo uniforme, se presentarán cinco modelos de probabilidad necesarios para el contenido a seguir.
• El primero para variables discretas y el resto para continuas.
• Hay una gran cantidad de modelos que permiten asignar probabilidades a priori a diferentes fenómenos observables.
• El tratamiento será utilitario, centrado en el uso que se puede hacer de cada distribución teórica.
• Se harán las referencias matemáticas mínimas necesarias para comprender las propiedades y condiciones de aplicación de los modelos.

Distribución binomial

• Se usa para modelar fenómenos aleatorios con solo dos resultados: "éxito" y "fracaso".
• La elección de cuál es éxito es arbitraria.
• La variable aleatoria considerada es el número de veces que se obtienen éxitos en una serie de repeticiones.
• Condición para que este modelo sea válido: cada repetición debe ser independiente de las anteriores.
• Utilizando una moneda equilibrada, este modelo facilita el cálculo de la probabilidad de obtener 3 caras en 4 tiradas.
• Si se conocen 16 resultados igualmente probables le corresponde una probabilidad de 1/16 (0,0625) a cada uno es posible calcular las probabilidades de cada valor sumando los que corresponden a las formas en que pueden lograrse.
• Tres caras (x=3) puede ser consecuencia de cualquiera de los eventos XCCC, CXCC, CCXC, CCCX, por lo que hay cuatro eventos a su favor y su probabilidad es 4/16.
• En el experimento, "lo más probable" es obtener dos caras, sabemos también cuán probable es que caiga una cantidad diferente de veces cara.
• Para usar infostat, los datos necesarios son:
  • La cantidad de repeticiones del experimento (n=4)
  • La probabilidad del evento cada vez que se lo repite (p=0,5)
  • El número de veces cuya probabilidad calculamos (el número de éxitos) (x=3)
• Cada vez que se quiere calcular la probabilidad de una cantidad de casos (x) de una categoría de una variable dicotómica (éxito) después de extracciones (n), se usará este modelo.
• De otro ejemplo se elige una muestra al azar de estudiantes de primer año de Psicología. Si no se establece ninguna restricción la probabilidad que en la muestra resulten todas mujeres, aquí el experimento que se repite es el de elegir al azar a un estudiante de primer año, se repite 15 veces, la pregunta es que sean 15 éxitos.

Esperanza y varianza

• En el modelo de probabilidad, la esperanza es n*p, el número esperado de casos favorables.
• En el primer ejemplo, la esperanza es 4*0,50=2, se espera obtener 2 caras en 4 tiradas.
• En el segundo ejemplo, la esperanza es 0,81*15=12,15.
• La varianza de la distribución binomial es np(1-p), una medida de la variabilidad del proceso.

Distribución normal

• La mayoría de los fenómenos sociales y psicológicos no tienen distribución uniforme.
• Para una población, el peso de los niños al nacer tiene un valor promedio, esperanado un peso cercano a ese valor.
• Para este tipo de fenómeno, un modelo que suele ajustar bien las probabilidades es la distribución normal la curva unimodal, simétrica, de forma acampanada es llamada "campana de Gauss"
• Hay una curva con trazado continuo y esta distribución es adecuada para modelar variables continuas.
• No es posible indicar la frecuencia de un valor único de una variable continua.
• No se calculan probabilidades para valores simples de variables continuas, sí acumuladas.
• Dado que la distribución normal es unimodal y simétrica, el modo, la media y la mediana coinciden.
• El coeficiente de asimetría es cero (g1=0) y la distribución es mesocúrtica (g2=0).
• El cálculo de las áreas bajo la curva es muy complejo se usa cualquier hoja de cálculo, donde se indica la probabilidad acumulada para diferentes valores de una variable abstracta.
• Se trata de la variable z, que mide el número de desviaciones estándar.
• La cantidad de desviaciones estándar (z) es una medida de lo cerca o lejos que un caso se encuentra del promedio.
• Si la variable en estudio es adecuadamente modelada con la distribución normal, entonces se conocerá la probabilidad de hallar casos a más de dos desviaciones estándar de la media.

Variable Z

• La variable z está definida, para un valor particular de x como: Z = (x-x)/s
• Tiene media igual a cero y desviación estándar igual a uno.
• Si x tiene una distribución normal con una media x y una desviación estándar s, entonces z tiene distribución normal estándar.
• Las probabilidades o áreas bajo la curva normal pueden ser calculadas, es más cómodo utilizar InfoStat.
• El "valor de x" es el puntaje z a partir del cual se calculará la probabilidad.
• El 2do valor es el complemento del primero que representa ahora la probabilidad de hallar valores por encima del valor especificado.
• Podemos operar si interesa conocer la probabilidad de hallar niños que nazcan con peso comprendido entre 3500 y 4500 gramos. Transformando cada uno de los valores se obtiene:
  • x = 3500 z = (3500-3300) /800 = 0,25
  • x=4500 → z = (4500-3300) /800 = 1,50

Distribución Ji Cuadrado

• Del mismo modo en que tratamos a la distribución normal, la x² no es una distribución única.
• No es suficiente especificar un valor de la variable para conocer su probabilidad acumulada sino que la forma que tenga dependerá de los "grados de libertad".
• La variable x2 con n grados de libertad es la suma de n variables aleatorias normales estándar elevadas al cuadrado: x² = Σ zi2, en la que cada z es una variable distribuida normalmente con media cero y desviación estándar igual a uno.
• Para hallar las probabilidades correspondientes a valores de la variable, al usar Infostat, indicamos los grados de libertad y buscamos la probabilidad de hallar valores de una variable con distribución x²con diez grados de libertad, mayores a 8.
• Se obtiene nuevo resultado válido con el área por debajo de los valores especificador y el área por encima (de este modo su suma es "uno").

Glosario

• Grados de libertad: Número de observaciones linealmente independientes que existen en una suma de cuadrados".
• Distribución de Student: Distribución conocida, cuya aplicación por primera vez la realiza William Gosset.
• Distribución F: Es una distribución asimétrica, y su forma depende de los valores de los grados de libertad del numerador y del denominador.

Parámetros y estimadores

• Si se conoce la edad promedio de estudiantes o el conjunto completo de estudiantes de Psicología en 2014 la edad promedio de alumnos puede tener resultados diferentes.
• Las muestras tienen un carácter aleatorio, los resultados que obtengamos en la muestra dependerá del azar, se trata de una variable aleatoria.
• Medidas que se refieren a la población se denominan parámetros también llamados parámetros poblacionales,
• Las fórmulas para hacer inferencias que aparecen en este capítulo y los siguientes, son correctas su el muestreo es irrestricto aleatorio.