1. Modèle de Populations

• L'introduction à la modélisation utilise une approche hypothético-déductive pour étudier les modèles de population
• La modélisation utilise l'approche hypothético-déductive dans le contexte des modèles de population.

Modèle Mathématique

• Un modèle mathématique (ou théorie scientifique) sert à représenter un phénomène qui se répète à l'échelle globale, en regroupant des caractéristiques plutôt qu'en considérant chaque individu séparément

• Une description verbale est traduite en un modèle mathématique incluant :

• Les variables décrivent l'état du système.

• Les paramètres sont des constantes physiques ou biologiques.

• Les hypothèses relient les variables et les paramètres à travers des équations.

• Il permet de faire des prédictions quantitatives (basées sur des données mesurables et des expériences) ou qualitatives (basées sur une idée générale tirée d'observations).

• Les déductions sont impossibles avec les descriptions verbales si les hypothèses sont vraies.

• La prédiction doit être vérifiée avec des observations indépendantes ou avec des expériences.

• Si la prédiction diffère des observations réelles, les hypothèses, variables et paramètres doivent être reconsidérés

• II est impossible de prouver qu'un modèle est correct, mais il est possible de prouver qu'il est faux, ce qui conduit à son rejet

• Au fil du temps, tous les modèles se révèlent faux, mais ils contribuent à la compréhension des phénomènes qu'ils décrivent

• La traduction d'hypothèses verbales en langage mathématique offre plusieurs avantages

• La quantification des phénomènes permet de faire de longues chaînes de prédictions

• La formulation mathématique aide à détecter les incohérences ou contradictions qui pourraient échapper à une formulation verbale

• La logique inhérente aux modèles mathématiques favorise la cohérence et réduit le risque de prédictions incorrectes

Modèles de Population

• Une population est définie comme un groupe d'individus de la même espèce
• Deux modèles classiques servent à étudier la dynamique des populations,Malthus (exponentiel) et Verhulst (logistique).

Description Verbale à Modèle Mathématique

• Croissance de la population aux États-Unis comme phénomène d'intérêt
• Un modèle à deux variables avec des dimensions et unités spécifiques est utilisé
• [t] représente le temps en années et est une variable indépendante
• [N] représente la taille de la population et est une variable dépendante du temps
• Les dimensions pour [t] sont le temps, mesuré en années, et pour [N] sont la taille de la population, mesurée en nombre d'individus
• Les facteurs biotiques et abiotiques influencent la dynamique de la population
• Les facteurs biotiques comprennent les épidémies virales, tandis que les facteurs abiotiques englobent les conditions environnementales comme le climat
• Un modèle basé sur des facteurs intrinsèques à la population est nécessaire pour expliquer les changements de taille de la population au fil du temps
• B(t) représente le nombre de naissances pendant l'année t
• D(t) représente le nombre de décès pendant l'année t
• I(t) représente le nombre d'immigrations pendant l'année t
• E(t) représente le nombre d'émigrations pendant l'année t
• Un modèle pour N(t) peut être exprimé comme une fonction de B(t), D(t), I(t), E(t) et t

Prédiction de la Taille de la Population

• Une équation comprenant N à différents moments (N(t+1) et N(t)) permet de trouver une expression pour le changement de taille de la population
• Les quatre facteurs, mesurés en [nombre d'individus par an], peuvent être simplifiés en un seul paramètre : R(t), le taux de croissance de la population sur un an
• Relation entre le taux de croissance de la population et le changement de la taille de la population
• Si R(t) est négatif, la taille de la population diminue
• Si R(t) est positif, la taille de la population augmente
• Si R(t) est égal à 0, la taille de la population reste constante
• On peut écrire une équation générale pour n'importe quel intervalle At
• N(t + At) – N(t) = change in population size between time t and t + At .
• Le changement de la taille de la population pendant l'intervalle At dépend de R(t)

Analyse Infinitésimale

• La théorie du calcul infinitésimal étudie le changement de fonctions continues par différenciation et intégration
• Permet de dériver une expression exacte à partir de l'équation et d'étudier le système localement afin d'appréhender son comportement global par intégration
• Pour un intervalle de temps infinitésimal At tendant vers 0, le changement de la taille de la population équivaut à :
• Taux de croissance multiplié par l'intervalle de temps, plus une fonction de correction o(At) qui converge plus rapidement vers 0 que At
• Correspond à la limite d'une fonction qui tend vers zéro et en divisant chaque côté
• Le côté gauche de l'équation est la définition de la dérivée
• C'est une équation différentielle ordinaire (ODE) où la vitesse de changement de la population est égale au taux de croissance de la population
• Cette ODE montre la dérivée temporelle de la variable N en fonction de R(t)
• Pour trouver la fonction N(t) donnée par sa dérivée (dN(t) / dt), il faut définir la fonction R(t) et formuler des hypothèses pour la croissance de la population

Hypothèses de Croissance de la Population

• R(t) est constant, indépendant du temps et de la taille de la population (hypothèse fausse) et conduit à une croissance linéaire de la population
• La pente est donnée par le taux de croissance p
• Comparer avec les observations révèle des erreurs entre le modèle et les données réelles
• Le modèle prédit une taille de population négative avant 1820 et la qualité de l'ajustement est médiocre, car la croissance de la population n'est pas vraiment linéaire
• Nécessité de revoir les hypothèses, paramètres et améliorer le modèle
• Étapes suivies pour formuler le modèle
• Définition des variables d'intérêt et des facteurs qui les influencent
• Étude des variations de la variable d'intérêt plutôt que la variable elle-même
• Étude de la variation sur un intervalle de temps infinitésimal
• Définition d'une hypothèse sur la relation entre le changement de la variable d'intérêt et les facteurs
• Résolution de l'équation différentielle, étude de la solution, et comparaison avec les données
• Dans un modèle, il existe des suppositions non déclarées que tous les individus de la population sont égaux et qu'il n'y a pas de structure géographique
• L'environnement biotique et abiotique est constant dans le temps, ce qui implique que les paramètres sont indépendants du temps et que le temps est continu

Modèle de Malthus

• Dans le modèle de Malthus (modèle exponentiel), R(t) est dépendant de la taille de la population, ce qui signifie que plus la population est importante, plus le taux de croissance est élevé
• Cela résulte en une fonction linéaire avec r comme taux de croissance intrinsèque, propre à une population fermée (sans immigration ni émigration)
• Si r est positif, le taux de naissance est supérieur au taux de décès, ce qui entraîne une augmentation de la population
• Si r est négatif, il y a une diminution de la population
• Une équation différentielle est résolue, et tous les termes sont intégrés
• La dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction, ce qui est une fonction exponentielle
• N (t) =e ln ( N ( 0) )+ rt=e ln ( N ( 0) ) ∙ ert =N ( 0 ) ∙ e rt
• La conclusion de l'hypothèse R(t) = r ∙N(t) est que Malthus propose une fonction exponentielle issue du modèle géométrique, et que c'est une fonction toujours positive qui ne prédit pas une taille de population négative
• Le Modèle géométrique est discret avec changement par intervalle alors que Modèle exponentiel est continu avec changement constant dans le temps
• Meilleur ajustement mais erreurs systématiques (erreurs non distribuées aléatoirement autour de la valeur prédite)
• Le taux r est constant alors qu'il pourrait changer en raison de facteurs tels que les épidémies, les guerres, les progrès, etc.
• Pour une petite taille de population, la courbe est sous les observations
• Le taux de croissance est plus lent que le taux de croissance actuel
• Pour une grande taille de population, la courbe est au-dessus
• Le taux de croissance est plus rapide à une population importante
• Il y a une diminution du taux de natalité associée à la croissance de la taille de la population en raison des limitations de ressources
• Il faut donc reconsidérer l'hypothèse selon laquelle le taux de croissance est linéairement proportionnel à N(t)
• La solution pour améliorer la modélisation consiste à se concentrer sur le changement d'un seul individu

Taux de Croissance par Habitant

• Étudier le taux de croissance per capita plutôt que la population entière Le taux de croissance per capita est constant et avec tous les paramètres de la population -1) ln(N(t + At)) – ln(N(t))), Ndt La trajectoire de la fonction avec le temps permet une estimation grossière

Étudier un Intervalle Delta T

• Pour un taux de croissance per capita avec comme fonction la taille de la population sur Δt = 5 ans,alors, le taux de croissance per capita diminue à mesure que la taille de la population augmente
• Il faut reconsidérer l'hypothèse que le taux de croissance per capita est constant dans le modèle de Malthus, d'où le Modèle de Verhulst : modèle logistique

Modèle Logistique de Verhulst

• Selon le modèle, taux de croissance per capita (1/N∙dN/dt) est une fonction linéaire décroissante de la population de taille N
• Les paramètres du modèle logistique sont :
• r = intercept, est le taux de croissance per capita maximal, également appelé taux de croissance intrinsèque
• Limite maximale physiologique qu'une espèce peut atteindre dans son environnement, donc la population croît à cette vitesse lorsque la population est petite (N=0)
• a = pente, le frein à la croissance, appelé coefficient de compétition intraspécifique
• La limitation de la population par les ressources
• K : capacité de charge, la valeur de la taille de la population à laquelle la croissance s'arrête

Taux de Croissance par Habitant

• La formule pour le taux de croissance par habitant avec le modèle de Verhulst
• Il faut utiliser le modèle le plus simple : le modèle linéaire
• La population N ne peut pas être négative.
• La diminution de la population (-a) entraîne une diminution linéaire de la population par individu
• Après que K (intercept avec x, équilibre) est dépassé, la vitesse est négative
• Cela revient en arrière et repart dans l'autre sens
• La taille de la population est multipliée par le taux de croissance per capita
• Obtenir la croissance de la population R(t) : taille de la population multipliée par le taux de croissance de la population
• Les étapes de paramétrage incluent la mise en évidence de K et la séparation des termes N et t par la méthode de Fourier, suivie de l'intégration

Résoudre l'Équation

• Isoler N(t) pour résoudre l'équation, et
• C'est la solution analytique du modèle de Verhulst, qui montre que si r > 0, lorsque t tend vers l'infini, N(t) tend vers K
• Conclusion :
• Prédit que la taille de la population converge vers la capacité de charge (le dénominateur converge vers 1, donc la taille de la population converge vers K)
• Si N(0) = K alors N(t) = K (ligne grise)
• Les lignes vertes et rouges ne se croisent jamais

Erreurs Systématiques

• À petite population à grand modèle de population
• À grande population à modèle pas bon sur le long terme
• N'est pas pris en compte les ressources
• Guerres, agriculture
• Les trajectoires des équations différentielles sont étudiées sans les résoudre analytiquement Analyser comment le taux de croissance de la population (dN/dt) change avec la taille de la population N

Étudier Taux de Croissance et Fonction

• Avec l'équation 2.3 du modèle de Malthus ;On sait que c'est dN/dt = 0 se produit
• Une fonction quadratique concave croise l'axe des x à N = 0 (point rouge) et N = K (point vert) Par conséquent, lorsque la taille de la population est égale à ces valeurs, la population n'augmente ni ne diminue, dN/dt = 0 La population augmente lorsque les valeurs de dN/dt sont positives et diminue lorsque les valeurs de dN/dt sont négatives Cela signifie que la population augmente si 0 < N < K, et diminue si N > K

Analyse

• L'analyse de la stabilité locale du point d'équilibre examine la nature du point en introduisant une perturbation (ajout/suppression d'individus). Vérifier si la population revient ou s'écarte de l'équilibre : K sont:
• N = 0 est un équilibre instable. Lorsque la population est perturbée (par l'ajout d'individus), la taille de la population augmente jusqu'à atteindre N K
• N = K est stable. Lorsque la population est perturbée, la taille de la population revient à N = K.
• L'équation différentielle dN/dt = N(r - a ∙ N) peut être réarrangée et factorisée pour identifier la fonction concave

Graphe Qualitatif des Trajectoires du Modèle

• Graphe D les axes sont inversés x = taux de croissance et y = taille de population
• Graphe G les valeurs en x sont la vitesse de changement de la taille de la population et le point N(0) = 1 a une dérivée positive La taille de la population augmente La vitesse de croissance maximale est atteinte à la taille de la population de K/2 point d'inflexion (2e dérivée de N(t) = 0) • L'augmentation de la vitesse ralentit et la trajectoire converge vers K • Trajectoires avec le Point instable trouvé à 0 où Avec une croissance négative, K est atteignable à l'infini • Accélération de la croissance, avec un point d'inflexion et 2e dérivée à 0

Autres Dérivations pour Trouver

• La croissance dépend des ressources et de l'espace
• Le modèle logistique est trouvé par la description de Verhulst.
• Ressource limitée dynamique de population deviennent stationnaire et atteint un équilibre.
• Au modèle de Malthus, l'ajout de fonction de rapport : dN/dt = r∙N - ɸ(N) Il est présumé que la fonction de la population diminue, à carreau : dN/dt = r∙N - ⍺ ∙ N2

Formule alternative

• Un Bon modèle doit satisfaire cette condition K1 quand le nombre de Le taux de croissance ne peut pas se manifester dans un graphique.
• 21 N :10 = B :208
• Un graphique régulier

Points Paradoxaux

• paradoxaux dans les équations qui ne fonctionnent qu 'avec nombre négatif de type " si r ! 0 "
• Les limites des résultats négatifs à toutes les équations de base

Limiter Exigences

• Pour que le système fonctionne, vous devez comprendre ce qui doit y être limité. Et trouver les solutions pour limiter les variables avec le minimum d'efforts et des équations les plus cohérentes.
• Ce système est dit à un point que des méthodes complexes peuvent être utilisées à la place.