مقدمة في نظرية الاحتمالات

• These notes cover topics in probability theory, including set operations on events, types of events, axioms of probability, and kinds of probabilities.

العمليات على الأحداث

• اتحاد حدثين X و Y هو مجموعة العناصر الموجودة في أي من الحدثين.
• غالبا ما يشير اتحاد الحدثين X و Y إلى وقوع الحدث X أو الحدث Y
• لا يتم تكرار أي قيمة عند إجراء عملية الاتحاد
• تقاطع حدثين X و Y هو عبارة عن مجموعة العناصر المشتركة فقط بين الحدثين.
• غالبًا ما يشير تقاطع الحدثين X و Y إلى وقوع الحدث X والحدث Y
• الفرق بين الحدث X والحدث Y (يُرمز إليه بـ X-Y) هو مجموعة العناصر الموجودة في X وغير الموجودة في Y.

أنواع خاصة من الحوادث

• الأحداث المتنافية هي أحداث لا يمكن وقوعها في نفس الوقت. إذا وقع أحد هذه الأحداث، فإنه يمنع وقوع الآخر. ليس بينها قيم مشتركة
• الأحداث الشاملة هي مجموعة تضم كل الأحداث الممكنة في التجربة، واتحادهم يساوي فراغ العينة
• الحدث المكمل للحدث A، الذي يُرمز له بـ Aᶜ أو Ā، هو مجموعة كل العناصر الموجودة في فراغ العينة وغير موجودة في A
• الحدث المستحيل، الذي يُرمز له بـ Ø (Null Event)، هو حدث لا يحتوي على أي نتائج، أي لا يمكن وقوعه. احتمال وقوع حدث مستحيل يساوي صفرًا P(Ø) = 0
• الحدث المؤكد هو الحدث الذي تكون فرصة حدوثه 100٪. الحدث الوحيد المؤكد عند إجراء تجربة عشوائية هو فراغ العينة S ، لأنها تعني وقوع على الأقل أحد الأحداث البسيطة، P(S)=1

مسلمات نظرية الاحتمال

• لأي حدث A، يكون له احتمال P(A) بحيث 0 ≤ P(A) ≤ 1
• إذا كان فراغ العينة هو S = {E₁, E₂, …, Eₙ}، فإن P(E₁) + P(E₂) + … + P(Eₙ) = 1
• P(S) = 1
• P(Ø) = 0
• P(Aᶜ) = 1 - P(A)
• P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• إذا كان A و B حدثين متنافيين، فإن P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

مثال توضيحي

• تم إلقاء زهرة النرد مرة واحدة وتم تعريف الحوادث التالية: A: ظهور رقم فردي، B ظهور رقم يقبل القسمة علي 3.
• المطلوب إيجاد الاحتمالات التالية: P(A), P(B), P(Bc), P(A∩B), P(AUB), P(AUB)c, P(A ∩B)c
• S={1,2,3,4,5,6}
• A={1,3,5} and thus P(A)=N(A)/N= 3/6= 0.5
• B={3,6}and thus P(B)=2/6=0.33
• P(Bc)=1-P(B)=1-2/6=4/6
• A∩B={3} and thus P(A∩B)=1/6
• AUB={1,3,5,6} and thus P(AUB)= 4/6
• P(AUB)c=1-P(AUB)=1-4/6=2/6
• P(A ∩B)c=1-P(A ∩B)=1-1/6=5/6

أنواع الاحتمالات

• تم دراسة أنواع الأحداث والعمليات المتعلقة بها، بالإضافة إلى الطرق المختلفة لتعريف الاحتمالات، ويلي ذلك دراسة أنواع مختلفة من الاحتمالات:
• الاحتمال الهامشي (Marginal Probability):
  • يتم الرمز للاحتمال الهامشي للحدث X بـ P(X)
  • يتم حساب الاحتمال الهامشي عادةً عن طريق قسمة جزء معين على الكل (المجموع).
  • مثال: نسبة الإناث العاملات في مصنع ما هي عدد الإناث في المصنع مقسومًا على مجموع العاملين بالمصنع.
  • يتم الحصول على الاحتمال الهامشي من هوامش الجداول عن طريق جمع أحد الصفوف أو الأعمدة والقسمة على المجموع
• الاحتمال المشترك (Joint Probability)
  • احتمال تقاطع الحدثين X و Y، ويعرف بالاحتمال المشترك ويرمز له ب P(X ∩ Y)
  • مثال: نسبة الطلاب الناجحين في مادتي الإحصاء والرياضيات هي عدد الناجحين في المادتين مقسومًا على مجموع الطلاب. لا يشترك في ذلك طالب ناجح في الإحصاء فقط أو في الرياضيات فقط
  • يتم الحصول على الاحتمال المشترك من الجداول المزدوجة عن طريق قسمة التكرار الموجود في خلايا الجدول على المجموع الكلي للجدول.
• احتمال اتحاد حدثين (Union Probability)
  • اتحاد حدثين X و Y يمثل وقوع إما X أو Y أو كليهما ويرمز له بـ (X∪Y)
  • احتمال الاتحاد هو مجموع الاحتمالات الهامشية لـ X و Y ناقص الاحتمال المشترك (لتجنب حساب التقاطع مرتين).
  • يتم حساب الاحتمال باستخدام القانون العام للجمع P( X ∪ Y ) = P( X) + P(Y ) − P( X ∩ Y )
• في حال أن الوظيفة الفنية والمكتبية تمثلان حدثان متنافيان وبالتالي P(T ∩ C ) = 0
• في المثال التوضيحى ما احتمال أن يكون الموظف فنى أو أنثى و لكن ليس الإثنان معا؟ِ
• ما احتمال ألا يكون الموظف فنيا أو أنثى؟