مقدمة في أساسيات الجبر

بالطبع ، إليك ملاحظات الدراسة التفصيلية المطلوبة:

الجبر

• الجبر نظام رياضي يتكون من مجموعة من العناصر، مجموعة من العمليات، بديهيات أو افتراضات.
• تحدد الجبر قواعد "الحسابات".
• مثال: الحساب على الأعداد الطبيعية: N = {1,2,3,4,...} و + و - و *

التعريفات الأساسية

• المجموعة هي مجموعة من العناصر التي لها نفس الخاصية.
• S: المجموعة، x و y: عنصر أو حدث على سبيل المثال: S = {1, 2, 3, 4} إذا كانت x = 2، فإن x ∈ S. إذا كانت y = 5، فإن y ∉ S.
• المعامل الثنائي المحدد على مجموعة S من العناصر هو قاعدة تحدد لكل زوج من العناصر من S عنصرًا فريدًا من S. على سبيل المثال: إذا تم إعطاء مجموعة S، ضع في اعتبارك a*b = c و * عبارة عن عامل تشغيل ثنائي.

مسلمات التعريفات الأساسية

• الإغلاق: المجموعة S مغلقة فيما يتعلق بالعامل الثنائي إذا كان العامل الثنائي، بالنسبة لكل زوج من عناصر S، يحدد قاعدة للحصول على عنصر فريد من S. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية N={1,2,3,...} مغلقة فيما يتعلق بالعامل الثنائي + وفقًا لقاعدة الجمع الحسابي، لأنه لأي a، b ∈ N، يوجد c N فريد بحيث a+b = c لكن العامل – ليس مغلقًا لـ N، لأن 2-3 = -1 و 2 و 3 ∈ N، لكن (-1) ∉ Ν.
• قانون الترابط: العامل الثنائي * في المجموعة S يقال إنه ترابطي كلما كان (x * y) * z = x * (y + z) لجميع x و y و z ∈ S (x+y)+z = x+(y+z)
• قانون التبادل: العامل الثنائي * في المجموعة S يقال إنه تبادلي كلما كان x * y = y *x لجميع x و y ∈ S x+y = y+x
• عنصر الهوية: يقال إن المجموعة S تحتوي على عنصر هوية فيما يتعلق بالعملية الثنائية * على S إذا كان هناك عنصر e ∈ S بالخاصية e * x = x* e = x لكل x ∈ S 0+x = x+0 =x لكل x ∈ I. I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. 1x = x1 =x لكل x ∈ I. I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
• المعكوس: يُقال إن المجموعة التي تحتوي على عنصر الهوية e فيما يتعلق بالعامل الثنائي لها معكوس كلما كان ذلك، لكل x ∈ S، يوجد عنصر y ∈ S بحيث x * y = e العامل + على I، مع e = 0، معكوس العنصر a هو (-a)، لأن a+(-a) = 0.
• قانون التوزيع: إذا كان * و . عاملان ثنائيان في المجموعة S، فسيقال إن * توزعي فوق . كلما كان x * (y . z) = (x * y) . (x * z)

التعريف البديهي لجبر المنطق

• يجب تحديد الجبر للقيم الثنائية
• طُور بواسطة George Boole في عام 1854
• مسلمات Huntington للجبر البولياني (1904): B = {0، 1} وعمليتان ثنائيتان + و · الإغلاق فيما يتعلق بالعاملين + و · عنصر الهوية 0 للعامل + و 1 للعامل · التبديل فيما يتعلق بـ + و · x+y = y+x, xy = y.X التوزيع فوق +، و + فوق · x·(y+z) = (xy)+(x.z) = (x+y)(x+z) و x+(yz) المكمل لكل عنصر x هو x' مع x+x'=1, x·x'=0 يوجد على الأقل عنصران x,y ∈ B

مصطلحات

• حرفي: متغير أو مكمل له.
• مصطلح حاصل الضرب: الأحرف المرتبطة بـ •
• مصطلح الجمع: الأحرف المرتبطة بـ +

مسلمات جبر المنطق ذو القيمة الثنائية

• B = {0، 1} وعمليتان ثنائيتان، + و · قواعد العمليات: AND و OR و NOT.
• AND x y x.y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
• OR x y x+y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
• NOT x x' 0 1 1 0
• الإغلاق (+ و.) (+ و.) العناصر المتطابقة +:0 (1) : 1 (2) القوانين التبادلية القوانين التوزيعية

مسلمات الجبر البولياني ثنائي القيمة

• المكمل x + x'=1 → 0 + 0'=0 + 1=1; 1 + 1'=1 + 0=1 x . x'=0 → 0. 0'=0 . 1=0; 1 . 1'=1.0=0
• يحتوي على عنصرين متميزين 1 و 0، مع 0 ≠ 1

ملحوظة

• مجموعة من عنصرين +: عملية OR; ·: عملية AND عامل التشغيل المكمل: عملية NOT
• المنطق الثنائي هو جبر بولياني ثنائي القيمة

الازدواجية

• يعد مبدأ الازدواجية مفهومًا مهمًا. يقول هذا أنه إذا كان التعبير صحيحًا في الجبر البولياني، فإن ازدواجية هذا التعبير صحيحة أيضًا.
• لتكوين ازدواجية التعبير، استبدل جميع عوامل التشغيل + بـ . العوامل، الكل . العوامل مع + العوامل، كل الآحاد بالأصفار، وجميع الأصفار بالآحاد. a + (bc) = (a + b)(a + c)

النظريات الأساسية

• المسلمات والنظريات في الجبر البولياني المسلمة 2: x + 0 = x، x • 1 = x المسلمة 5: x + x' = 1، x x' = 0 النظرية 1: x + x = x، Xxx = X النظرية 2: x+1=1، x.0 = 0 النظرية 3، الالتفاف: (x')' = x المسلمة 3، التبادلية: x + y = y + x، xy = yx النظرية 4، الترابط: x + (y + z) = (x + y) + z، xyz = (xy)z المسلمة 4، التوزيع: x(y + z) = xy + xz، x + yz = (x + y)(x + z) النظرية 5، DeMorgan: (x + y)' = x'y'، (xy)' = x' + y' النظرية 6، الامتصاص: x + xy = x، x(x + y) = x

نظريات المنطق

• تحدد مسلمات Huntington بعض القواعد Post. 1: الإغلاق Post. 2: (أ) x+0=x، (ب) x1=x Post. 3: (أ) x+y=y+x، (ب) xy=y.x Post. 4: (أ) x(y+z) = xy+xz، (ب) x+yz = (x+y)(x+z) Post. 5: (أ) x+x'=1، (ب) x·x'=0
• هناك حاجة إلى مزيد من القواعد لتعديل التعبيرات الجبرية
• ما هي النظرية؟ صيغة أو عبارة مشتقة من المسلمات (أو نظريات ثبتت صحتها)
• النظريات الأساسية في الجبر البولياني النظرية 1 (أ): x + x = x، x = x تبدو واضحة ومباشرة، ولكن يجب إثباتها!

أسبقية العوامل

• أسبقية العوامل لتقييم التعبير البولياني الأقواس NOT AND OR

الدوال المنطقية

• دالة منطقية متغيرات ثنائية عوامل التشغيل الثنائية OR و AND عامل التشغيل الأحادي NOT الأقواس
• أمثلة F₁= x y z' F2 = x + y'z F3 = x' y' z + x' yz + x y' F₄ = x y' + x' z

المزيد في الدوال المنطقية

• يحوي جدول الحقيقة على ٢ أس ن من المُدخلات قد يُحدد تعبيران منطقيان الدالة نفسها F3 = F4

الجبرية

• لتقليل التعبيرات المنطقية حرفي: متغير أولي أو غير أولي (مدخل إلى البوابة) مصطلح: تنفيذ بالبوابة تقليل عدد الأحرف وعدد الحدود ← دائرة بمعدات أقل إنّها مشكلة صعبة (لا توجد قواعد محددة يجب اتباعها)
• مثال 2.1 x(x'+y) = xx' + xy = 0+xy = xy .1 x+x'y = (x+x')(x+y) = 1 (x+y) = x+y .2 (x+y)(x+y') = x+xy+xy'+yy' = x(1+y+y') = x .3 xy + x'z + yz = xy + x'z + yz(x+x') = xy + x'z + yzx + yzx' = xy(1+z) + x'z(1+y) = xy +x'z .4 (x+y)(x'+z)(y+z) = (x+y)(x'+z)، بالاعتماد على الازدواجية من الدالة 4. (نظرية الإجماع مع الازدواجية) 5.

مُكمِّل الدالة

• تبادل الأصفار بالواحدات والواحدات بالأصفار في قيمة F
• وبالاعتماد على نظرية دي مورغان: '(A+X) = A'X '(A'(B+C) = A'BC
• التعميمات: يتم الحصول على الدالة عن طريق تبديل عوامل تشغيل AND و OR ومكاملة كل حرف. (A+B+C+D+ ... +F)' = A'B'C'D'... F' (ABCD ... F)' = A'+ B'+C'+D' ... +F'

أشكال المنتج القياسية

• تسمى المصطلحات الدنيا والمصطلحات القصوى المصطلح الأدنى (ناتج قياسي): يتألف مصطلح AND من جميع الأحرف في شكلها العادي أو في شكلها التكميلي. على سبيل المثال، متغيران ثنائيان xy، xy'، x'y، x'y' يسمى أيضًا منتجًا قياسيًا. يمكن دمج n متغيرًا لتشكيل 2n مصطلح أدنى.
• المصطلح الأقصى (المجموع القياسي): مصطلح OR يسمى أيضًا مجموعًا قياسيًا. 2n المصطلحات القصوى. كل مصطلح أقصى هو مُكمِّل مصطلحه الأدنى المطابق، والعكس بالعكس. يمكن التعبير عن الدالة البوليانية بـِ: جدولِ حقيقة مجموع المصطلحات الدنيا f₁ = x'y'z + xy'z' + xyz = m₁ + m₄ +m₇ (المصطلحات الدنيا) f₂ = x'yz+ xy'z + xyz'+xyz = m₃ + m₅ +m₆ + m₇. مُكمِّل الدالة البوليانية المصطلحات الدنيا التي تنتج 0 ''f₁ = m₀ + m₂ +m₃ + m₅ + m₆ = x'y'z'+x'yz'+x'yz+xy'z+xyz ''(f₁ = (f₁ =(x+y+z)(x+y'+z) (x+y'+z') (x'+y+z')(x'+y'+z) M₀ =M₂ M₃ M₅ M₆
• دالة جزئية =(x+y+z)(x+y+z')(x+y'+z)(x'+y+z)=M₀M₁M₂M₄ f₂. يمكن التعبير عن أي دالة منطقية بصيغتين: مجموع المصطلحات الصغرى (sum معناه: ORing للمصطلحات). ناتج المصطلحات الكبرى (product معناه: ANDing للمصطلحات). تسمى هاتان الصيغتان بالصيغتين القانونيتين.
• مجموع الحد الأدنى مجموع المصطلحات الدنيا: هناك 2 مرفوعة للأس n مصطلحًا أدنى و2 مرفوعة للأس 2n تركيبات للدالة بمتغيرات منطقية n. مثال 2.4: عبر عن F = A+BC' على هيئة مجموع للمصطلحات الدنيا. F = A+B'C = A (B+B') + B'C = AB +AB' + B'C = AB(C+C') + AB'(C+C') + (A+A')B'C = ABC+ABC'+AB'C+AB'C'+A'B'C F = A'B'C +AB'C' +AB'C+ABC'+ ABC = m1 + m4+m5 + m6+ m7. F(A ،B ،C) = (1 ،4 ،5 ،6 ،7) أو، بناء جدول الحقيقة أولًا.

ناتج المصطلحات الكبرى

• المنتج من المصطلحات الكبرى: باستخدام القانون التوزيعي للتوسع. x + yz = (x + y)(x + z) = (x+ذ+zz')(x+z+yy') = (x+y+z)(x+y+z')(x+y'+z)
• مثال 2.5: عبر عن F = xy + x'z كناتج من المصطلحات الكبرى. F = xy + x'z = (xy + x')(xy +z) = (x+x')(y+x')(x+z) (y+z) = (x'+y)(x+z)(y+z) x'+y = x' + y + zz' = (x'+y+z)(x'+y+z') F = (x+y+z)(x+y'+z)(x'+y+z)(x'+y+z') = M₀M₂M₄M₅ F(x, y, z) = (0, 2, 4, 5)

التحويل بين الصيغ المتعارف عليها

• مُكمِّل الدالة المعبر عنه بالجمع المنتهي يساوي جمع المصطلحات الدنيا المفقودة من الدالة الأصلية. F(A ،B ،C) = (1 ،4 ،5 ،6 ،7) إذًا، ''F(A ،B ،C) = (0 ،2 ،3) وباستخدام نظرية دي مورغان F(A, B, C) = (0, 2, 3) F'(A, B, C) = (1, 4, 5, 6, 7) '=M_j m_j مجموع الحد الأدنى = منتج الحد الأقصى
• استبدل الرموز∑ و∏ وضع قائمة بتلك الأرقام المفقودة من النموذج الأصلي الـ 1 1 الأصفار

الأبواب القياسية

• البوابات الثنائية القياسية
• AND, OR و NOT operations: بنية البوابات المنطقية الأخرى إمكانية التوسعة لعدة مدخلات; إمكانية تطوير مدخلات البوابة; الخصائص الاساسية للعمليات الجبرية (بالتبديل والتجميع); تمكّن هذه البوابات من تحقيق الدوال الجبرية.

البوابات القياسية

• ضع في اعتبارك 16 دالة في الجدول 2.8 (الشريحة 33) اثنان مساويان لثابت (Fo و F15). تتكرر أربعة مرتين (F4 و F5 و F10 و F11). التثبيط (F2) والتضمين (F13) ليسا تبادليين ولا تجميعيين. الثمانية الأخرى: المكمل (F12)، النقل (F3)، AND (F1)، OR (F7)، NAND (F14)، NOR (F8)، XOR (F｡)، والتكافؤ (XNOR) (F9) تستخدم كبوابات قياسية. المكمل: العاكس. النقل: المخزن المؤقت (زيادة قوة الدفع).
• التكافؤ: XNOR.

متعدد الإدخال

• الامتداد إلى مدخلات متعددة يمكن تمديد البوابة إلى مدخلات متعددة. إذا كانت عمليتها الثنائية تبادلية وتجميعية.
• AND و OR تبادليان وتجميعيان. OR x+y = y+x (x+y)+z = x+(y+z) = x+y+z
• AND xy = yx (x y)z = x(y z) = x y z

المزيد من متعدد الإدخال

• NAND و NOR تبادليتان ولكن ليستا تجميعيتين ← فهما (x ↓ y) ↓ z = (x + y)z' x ↓ (y + z) = x' (y + z)
• أكثر من مدخل بـ ( NOR = متممة لبوابة OR، مع إدخال مضاعف بـ NAND = متممة لبوابة AND، ) عمليات NAND متتالية = مجموع النواتج. عمليات NOR متتالية = ناتج المجاميع.
• بوابات XOR ذات أكثر من مدخلات غير شائعة، و XOR هي دالة فرعية، وتساوي 1 إذا كانت المدخلات صحيحة.

Logic موجب وسالب

• قيمتا الإشارة <=> قيمتان منطقيتان منطق موجب: H=1; L=0 منطق سالب: H=0; L=1 ضع في اعتبارك بوابة TTL بوابة منطقية AND موجبة بوابة منطقية OR سالبة يستخدم المنطق الموجب في هذا الكتاب