مقدمة في التكامل

• التكامل هو العملية المعاكسة للتفاضل.

التكامل غير المحدد

• يهدف إلى إيجاد الدالة الأصلية (F(x)) لدالة معطاة (f(x))، بحيث تكون (F'(x) = f(x)).
• يمثل مجموعة دوال تختلف بثابت التكامل (C).
• يكتب على الصورة: (\int f(x) , dx = F(x) + C).
• (C) هو ثابت التكامل، يمثل قيمة غير محددة تضاف للدالة الأصلية.

التكامل المحدد

• يتم حسابه على فترة معينة ([a, b]) لإيجاد قيمة عددية تمثل المساحة تحت منحنى الدالة (f(x)) بين (a) و (b).
• يكتب على الصورة: (\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a))، حيث (F(x)) هي الدالة الأصلية لـ (f(x)).
• لا يتضمن ثابت التكامل (C) لأن الفرق بين قيمتي الدالة الأصلية يلغيه.
• (a) و (b) هما حدود التكامل (الحد السفلي والحد العلوي).

التكامل بالتعويض (التغيير المتغير)

• تقنية تستخدم لتبسيط التكاملات عن طريق استبدال جزء من الدالة بمتغير جديد.
• يتم اختيار دالة (u = g(x)) بحيث يكون تفاضلها (du = g'(x) , dx) جزءًا من التكامل الأصلي.
• يهدف إلى تحويل التكامل إلى صيغة أسهل: (\int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx = \int f(u) , du).
• بعد إيجاد التكامل بدلالة (u)، يتم استبدال (u) بـ (g(x)) للحصول على الناتج بدلالة (x).
• في التكامل المحدد، يجب تغيير حدود التكامل لتتوافق مع المتغير الجديد (u).

قواعد التكامل الأساسية

• تكامل الدالة الثابتة: (\int k , dx = kx + C)، حيث (k) ثابت.
• تكامل الدالة الأسية: (\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C)، حيث (n \neq -1).
• تكامل الدالة (1/x): (\int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C).
• تكامل الدالة الأسية (e^x): (\int e^x , dx = e^x + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\sin(x)): (\int \sin(x) , dx = -\cos(x) + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\cos(x)): (\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\sec^2(x)): (\int \sec^2(x) , dx = \tan(x) + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\csc^2(x)): (\int \csc^2(x) , dx = -\cot(x) + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\sec(x)\tan(x)): (\int \sec(x)\tan(x) , dx = \sec(x) + C).
• تكامل الدالة المثلثية (\csc(x)\cot(x)): (\int \csc(x)\cot(x) , dx = -\csc(x) + C).
• تكامل مجموع أو طرح الدوال: (\int [f(x) \pm g(x)] , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx).
• تكامل دالة مضروبة في ثابت: (\int k \cdot f(x) , dx = k \int f(x) , dx).

مثال على التكامل بالتعويض

• لحساب (\int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 , dx):
  • نفرض (u = x^2 + 1)، إذن (du = 2x , dx).
  • يصبح التكامل: (\int u^3 , du = \frac{u^4}{4} + C).
  • نعوض بقيمة (u): (\frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C).

مثال على التكامل المحدد

• لحساب (\int_{0}^{1} x^2 , dx):
  • الدالة الأصلية لـ (x^2) هي (\frac{x^3}{3}).
  • نعوض بحدود التكامل: (\frac{(1)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}).

ملاحظات هامة

• يجب دائمًا إضافة ثابت التكامل (C) في التكامل غير المحدد.
• في التكامل المحدد، يتم حساب قيمة عددية تمثل المساحة تحت المنحنى.
• التكامل بالتعويض يتطلب اختيار دالة مناسبة (u) لتبسيط التكامل.
• فهم قواعد التكامل الأساسية ضروري لحل معظم مسائل التكامل.
• تذكر تغيير حدود التكامل عند استخدام التعويض في التكامل المحدد.
• يمكن استخدام التكامل لحساب المساحات، الأحجام، الأطوال، وغيرها من التطبيقات الهندسية والفيزيائية.