مقدمة في المصفوفات

المصفوفات

• المصفوفة هي مجموعة مرتبة من الأرقام أو المتغيرات، مرتبة في صفوف وأعمدة.
• تُمثَّل المصفوفات عادةً برموز مكتوبة بحروف كبيرة مثل (A, B, C).
• حجم المصفوفة يُحدد بعدد الصفوف وعدد الأعمدة، يُكتب على شكل (عدد الصفوف × عدد الأعمدة).
• عناصر المصفوفة تُسمى بالمداخل.
• مواقع العناصر تُحدد بالصف والعمود.
• المصفوفة المربعة تُحدَّد بعدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة.
• مثال: مصفوفة (3 × 2) تحتوي على 3 صفوف و 2 عمود.

أنواع المصفوفات

• مصفوفة صفية: تحتوي على صف واحد فقط.
• مصفوفة عمودية: تحتوي على عمود واحد فقط.
• مصفوفة مربعة: عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.
• مصفوفة متجهة: نوع خاص من المصفوفات، إما مصفوفة صفية أو عمودية.
• مصفوفة صفرية: جميع مداخلها تساوي صفر.
• مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة، مداخلها الرئيسية تساوي واحد، والمداخل الأخرى تساوي صفر.
• مصفوفة قطريّة: مصفوفة مربعة، جميع مداخلها غير الرئيسية تساوي صفر.

ترتيب المصفوفة (رتبة المصفوفة)

• رتبة المصفوفة هي أعلى درجة من الدرجات غير الصفرية في المصفوفة.
• تُقاس درجة المصفوفة بصفوفها أو أعمدتها.
• تُمثّل رتبة المصفوفة عدد المتغيرات المستقلة في نظام المعادلات.
• ترتيب تصاعدي لقيم الأعداد أو المتغيرات (لا يُعطي معنى منطقيًا في سياق المصفوفات).
• في المصفوفات غير المربعة، تعتمد رتبة المصفوفة على عدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا.
• في المصفوفات المربعة، تُقاس مستقلية المتجهات حسب القيم غير الصفرية.
• المصفوفات ذات الرتبة الأعلى تمثل تعقيداً أكبر، ونظامًا أكثر تعقيدًا.
• تستخدم في الهندسة الخطية وحل أنظمة المعادلات الخطية.
• تُحدد رتبة المصفوفة بمعرفة الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا.

طرق إيجاد رتبة المصفوفة

• إيجاد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا.
• استخدام العمليات الأساسية على الصفوف (أو الأعمدة) لإيجاد الصيغة المدرجة للمصفوفة.
• تحديد عدد المتغيرات المستقلة في نظام المعادلات الخطية.
• تحليل المصفوفة باستخدام التحويلات الخطية.
• خوارزميات رياضية لحساب رتبة المصفوفة، بما في ذلك:
  • إجراء جورسـيـان.
  • حساب القيم الذاتية.
  • وغيرها.

أمثلة

• مصفوفة (2 × 2) بأرقام عشوائية.
• إيجاد رتبة مصفوفة أكبر.
• تطبيق معادلات خطية على المصفوفة.
• أمثلة على المصفوفات المربعة وغير المربعة، ورتبها.