مقدمة في المصفوفات

• المصفوفات عبارة عن ترتيب مستطيل للأرقام أو الرموز أو التعبيرات، مرتبة في صفوف وأعمدة.

تعريف المصفوفات

• المصفوفة هي مجموعة من العناصر مرتبة في صفوف وأعمدة، ومحاطة بأقواس مربعة أو مزدوجة.
• يتم التعبير عن حجم المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة، وعادة ما تتم كتابته بالصيغة (m × n)، حيث m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة.
• يمكن أن تحتوي المصفوفة على أرقام حقيقية أو معقدة أو رموز أو تعبيرات رياضية.
• يتم تحديد العنصر الموجود في المصفوفة من خلال موقعه، ويشار إليه بالرمز a_ij، حيث i هو رقم الصف و j هو رقم العمود.
• تحتوي المصفوفة الصفية على صف واحد فقط.
• تحتوي المصفوفة العمودية على عمود واحد فقط.
• المصفوفة المربعة هي المصفوفة التي يكون فيها عدد الصفوف مساوياً لعدد الأعمدة.
• المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تكون فيها جميع عناصرها أصفارًا.
• المصفوفة الواحدية (أو مصفوفة الوحدة) هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وبقية العناصر أصفارًا.

المصفوفات متعددة الأبعاد

• المصفوفات متعددة الأبعاد هي امتداد للمصفوفات ثنائية الأبعاد (صفوف وأعمدة) إلى أبعاد أعلى.
• في المصفوفات ثلاثية الأبعاد، يتم ترتيب العناصر على شكل متوازي مستطيلات، حيث توجد صفوف وأعمدة وطبقات.
• يمكن تصور المصفوفة ثلاثية الأبعاد على أنها مجموعة من المصفوفات ثنائية الأبعاد مكدسة فوق بعضها البعض.
• يصعب تصور المصفوفات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة، ولكن يمكن تمثيلها رياضياً بنفس الطريقة.
• يتم التعبير عن حجم المصفوفة متعددة الأبعاد بعدد العناصر في كل بُعد، مثل (m × n × p) للمصفوفة ثلاثية الأبعاد.
• تُستخدم المصفوفات متعددة الأبعاد في معالجة الصور والفيديو، وفي نمذجة البيانات المعقدة.
• في Python، يمكن إنشاء مصفوفات متعددة الأبعاد باستخدام مكتبة NumPy.

عمليات المصفوفات

• جمع وطرح المصفوفات: يمكن جمع أو طرح مصفوفتين لهما نفس الحجم عن طريق جمع أو طرح العناصر المتناظرة.
• ضرب المصفوفات: يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية. حاصل الضرب هو مصفوفة جديدة.
• ضرب المصفوفة بعدد ثابت: يتم ضرب كل عنصر في المصفوفة بالعدد الثابت.
• قسمة المصفوفة على عدد ثابت: يتم قسمة كل عنصر في المصفوفة على العدد الثابت.
• قلب المصفوفة (Transpose): يتم تحويل الصفوف إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف.
• المصفوفة المحايدة (Identity Matrix): هي مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وباقي العناصر أصفارًا. عند ضرب أي مصفوفة في المصفوفة المحايدة، تكون النتيجة هي المصفوفة الأصلية.
• معكوس المصفوفة (Inverse Matrix): هي مصفوفة إذا ضُربت في المصفوفة الأصلية، تكون النتيجة هي المصفوفة المحايدة.
• تخضع العمليات الحسابية على المصفوفات لقواعد محددة، مثل خاصية التوزيع والتبديل في بعض الحالات.

المصفوفات المتجهة

• المصفوفة المتجهة هي مصفوفة تحتوي على صف واحد أو عمود واحد فقط.
• تتكون المصفوفة المتجهة الصفية من صف واحد وعدة أعمدة.
• تتكون المصفوفة المتجهة العمودية من عمود واحد وعدة صفوف.
• يمكن اعتبار المتجهات حالات خاصة من المصفوفات.
• تتضمن العمليات على المتجهات الجمع والطرح والضرب القياسي والضرب الاتجاهي.
• تُستخدم المتجهات في الفيزياء لتمثيل الكميات المتجهة مثل القوة والسرعة.
• في علم الحاسوب، تُستخدم المتجهات لتمثيل البيانات والميزات في تعلم الآلة.

المحددات

• المحدد هو قيمة عددية يمكن حسابها فقط للمصفوفات المربعة.
• محدد المصفوفة 2 × 2: إذا كانت المصفوفة هي [[a, b], [c, d]]، فإن المحدد هو (ad - bc).
• محدد المصفوفة 3 × 3: يمكن حسابه باستخدام قاعدة ساروس أو طريقة التوسع بالعوامل المرافقة.
• للمحدد خصائص مهمة، مثل أنه إذا تم تبديل صفين في المصفوفة، تتغير إشارة المحدد.
• إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفين متطابقين أو عمودين متطابقين، فإن قيمة المحدد تساوي صفر.
• إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفر، فإن المصفوفة غير قابلة للانعكاس (singular).
• يستخدم المحدد في حل المعادلات الخطية وفي حساب المساحات والحجوم.
• يمكن استخدام المحدد لتحديد ما إذا كانت مجموعة من المتجهات مستقلة خطياً.
• المحدد مفيد في التحويلات الهندسية، مثل الدوران والقياس والقص.