Mga Deribatibo ng Function

Kabanata 2: Mga Deribatibo

2.1 Deribatibo ng Isang Function

• Ang deribatibo ng isang function na $f$ sa punto na $x_0$, na isinusulat bilang $f'(x_0)$, ay binibigyang kahulugan ng: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.
• Ang pahayag sa itaas ay totoo lamang kung ang limitasyon ay umiiral.
• Ipinapakita ng $f'(x_0)$ ang slope ng tangent sa curve ng $f$ sa punto na $(x_0, f(x_0))$.

Interpretasyong Pisikal

• Sa physics, kung ang $f(t)$ ay kumakatawan sa posisyon ng isang bagay sa oras na $t$, kung gayon ang $f'(t)$ ay kumakatawan sa bilis ng bagay na iyon sa oras na $t$.

Katangian ng Deribatibo

• Ang isang function ay sinasabing may deribatibo sa $x_0$ kung ang deribatibo nito ay umiiral sa $x_0$.

Kaugnayan sa Pagpapatuloy

• Kung ang isang function ay may deribatibo sa $x_0$, kung gayon ito ay tuloy-tuloy sa $x_0$. Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Mga Deribatibong Kaliwa at Kanan

• Deribatibo sa kaliwa: $f'g(x_0) = \lim{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.
• Deribatibo sa kanan: $f'd(x_0) = \lim{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.
• Para magkaroon ng deribatibo ang $f$ sa $x_0$, kinakailangan na ang $f'_g(x_0) = f'_d(x_0)$.

Function na Deribatibo

• Ang function na deribatibo ng $f$, na isinusulat bilang $f'(x)$, ay ang function na iniuugnay sa bawat $x$ ang deribatibo ng $f$ sa $x$, iyon ay, $f'(x)$.

Notasyon ni Leibniz

• Ang $\frac{df}{dx}$ o $\frac{d}{dx}f(x)$ ay kumakatawan sa deribatibo ng $f$ kaugnay ng $x$.

Mga Sunud-sunod na Deribatibo

• Ang pangalawang deribatibo ng $f$, na isinusulat bilang $f''(x)$, ay ang deribatibo ng $f'(x)$. Maaari ding tukuyin ang mga deribatibo ng mas mataas na order: $f^{(n)}(x)$.

Mga Halimbawa

• Kung $f(x) = x^2$, kung gayon $f'(x) = 2x$.
• Kung $f(x) = \sin(x)$, kung gayon $f'(x) = \cos(x)$.
• Kung $f(x) = e^x$, kung gayon $f'(x) = e^x$.

2.2 Mga Panuntunan sa Deribasyon

• c (palagian): 0
• $x^n$: $nx^{n-1}$
• $e^x$: $e^x$
• $\ln(x)$: $\frac{1}{x}$
• $\sin(x)$: $\cos(x)$
• $\cos(x)$: $-\sin(x)$
• $\tan(x)$: $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$
• $f(x) + g(x)$: $f'(x) + g'(x)$
• $cf(x)$: $cf'(x)$
• $f(x)g(x)$: $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
• $\frac{f(x)}{g(x)}$: $\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
• $f(g(x))$: $f'(g(x))g'(x)$ (panuntunan ng chain)

2.3 Aplikasyon ng Deribasyon

• Upang mahanap ang mga extrema ng isang function na $f$, hanapin ang mga punto kung saan ang $f'(x) = 0$ o ang $f'(x)$ ay hindi umiiral. Pagkatapos ay pag-aralan ang tanda ng $f'(x)$ sa paligid ng mga puntong ito upang matukoy kung ito ay isang maximum, isang minimum, o isang punto ng inflexion.

Pagkakaiba-iba

• Kung ang $f'(x) > 0$ sa isang interval, kung gayon ang $f$ ay tumataas sa interval na ito.
• Kung ang $f'(x) < 0$ sa isang interval, kung gayon ang $f$ ay bumababa sa interval na ito.
• Kung ang $f'(x) = 0$ sa isang interval, kung gayon ang $f$ ay palagian sa interval na ito.

Concavity

• Kung ang $f''(x) > 0$ sa isang interval, kung gayon ang $f$ ay concave (convex) sa interval na ito.
• Kung ang $f''(x) < 0$ sa isang interval, kung gayon ang $f$ ay convex (concave) sa interval na ito.
• Kung ang $f''(x) = 0$ sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay isang punto ng inflexion kung ang concavity ay nagbabago sa paligid ng puntong ito.

Optimisasyon

• Ang deribasyon ay nagbibigay-daan upang malutas ang mga problema sa pag-optimize, iyon ay, upang mahanap ang pinakamataas o pinakamababang halaga ng isang function sa ilalim ng ilang mga limitasyon.

Teorama ni Rolle

• Kung ang $f$ ay tuloy-tuloy sa $[a, b]$, may deribatibo sa $]a, b[$ at $f(a) = f(b)$, kung gayon mayroong $c \in ]a, b[$ tulad na $f'(c) = 0$.

Teorama ng May Hangganang Pagtaas

• Kung ang $f$ ay tuloy-tuloy sa $[a, b]$ at may deribatibo sa $]a, b[$, kung gayon mayroong $c \in ]a, b[$ tulad na $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

2.4 Mga Pagsasanay

• Isipin na ang sumusunod ay mga halimbawa ng mga pagsasanay (hindi nilutas):
• Kalkulahin ang deribatibo ng $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3$.
• Hanapin ang extrema ng function $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
• Tukuyin ang mga interval kung saan ang function $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ ay tumataas o bumababa.
• Kalkulahin ang deribatibo ng $f(x) = \sin(x^2)$.
• Hanapin ang equation ng tangent sa curve ng $f(x) = x^2$ sa punto na $x = 2$.