Medisinske Tester og Sannsynlighetsberegninger

Oppgave 1: Medisinske Tester og Sannsynlighet

• Oppgaven omhandler analyse av medisinske tester.
• A: Personen tester positivt for sykdommen.
• C: Personen har sykdommen.

Testens Sensitivitet og Spesifisitet

• P(A|C) er testens sensitivitet, altså sannsynligheten for at testen er positiv når personen har sykdom.
• P(Ā|C̄) er testens spesifisitet, altså sannsynligheten for at testen er negativ når personen ikke har sykdom.

Sannsynlighetsberegninger

• Gitt P(A|C) = p1, P(Ā|C̄) = p2 og P(C) = p3, kan P(A) uttrykkes som: P(A) = p1p3 + (1 - p2)(1 - p3).
• Generell formel for betinget sannsynlighet: P(C|A) = (P(A|C) * P(C)) / P(A).
• P(C|A) er sannsynligheten for å ha sykdommen gitt positivt testresultat, viktig for å vurdere testens pålitelighet.

Eksempelberegning med Gitte Verdier

• Gitt P(A|C) = 0.98, P(Ā|C̄) = 0.82, og P(C) = 0.02, beregnes P(C|A).
• En person tester positivt: P(C|A) er sannsynligheten for at personen faktisk har sykdommen.
• Hvis P(A|C) = 0.98, P(Ā|C̄) = 0.82 og P(C) = 0.02, da er P(C|A) ≈ 0.1 eller 10%. Sannsynligheten for at en person som tester positivt faktisk har sykdommen er bare 10%.
• Sannsynligheten for at personen ikke har sykdommen, gitt en positiv test, er dermed 90%.

Testens Troverdighet

• Forbedring av testens spesifisitet (P(Ā|C̄)) vil øke troverdigheten til et positivt testresultat.
• Lav spesifisitet fører til flere falske positive resultater.

Oppgave 2: Dekningsbidrag i Tre Markeder

• En bedrift opererer i tre markeder, med uavhengige og normalfordelte dekningsbidrag D1, D2, D3.
• Forventningene er E[D1] = 20, E[D2] = 40, E[D3] = 50 (millioner kr).
• Variansene er Var[D1] = 100, Var[D2] = 400, Var[D3] = 400.

Summen av Dekningsbidrag

• Summen av dekningsbidragene er D = D1 + D2 + D3.
• E[D] = E[D1] + E[D2] + E[D3] = 20 + 40 + 50 = 110 (millioner kr).
• Var[D] = Var[D1] + Var[D2] + Var[D3] = 100 + 400 + 400 = 900.

Sannsynlighet for Tap

• Faste kostnader er C = 50 (millioner kr).
• Sannsynligheten for at summen av dekningsbidragene er mindre eller lik faste kostnader: P(D ≤ C).
• P(D ≤ 50) ≈ 2.28% ved å bruke normalfordelingen og standardavviket.

Ikke-Uavhengige Dekningsbidrag

• Dekningsbidragene er ikke uavhengige, med kovarianser Cov(D1, D2) = 100, Cov(D1, D3) = 100, Cov(D2, D3) = 150.
• Variansen til summen av dekningsbidragene endres: Var[D] = Var[D1] + Var[D2] + Var[D3] + 2Cov(D1, D2) + 2Cov(D1, D3) + 2Cov(D2, D3).
• Var[D] = 1600 (millioner kr^2).
• Sannsynligheten for tap øker til ca. 6.68% når dekningsbidragene er positivt korrelerte.

Tapssannsynlighet

• Økt tapssannsynlighet skyldes at positiv korrelasjon mellom markedene fører til at lave dekningsbidrag i ett marked ofte sammenfaller med lave bidrag i andre.

Oppgave 3: Estimering av Andel i en Populasjon

• Populasjonen er svært stor, p er andelen som liker et produkt.

Estimering av Andel

• Estimering av p ved å spørre n personer.
• X: Antall personer som liker produktet.
• p̂ = X/n, er estimert andel.
• X er tilnærmet binomisk fordelt (n, p) fordi hvert individ i populasjonen enten liker produktet eller ikke, og hvert svar er uavhengig av de andre.
• p̂ er en forventningsrett estimator for p fordi E[p̂] = p.

Standardavvik

• Gitt n = 100 og p = 0.5, kan standardavviket σ (p̂) beregnes.
• σ(p̂) = √(p(1-p)/n) = √(0.5*0.5/100) = 0.05
• Standardavviket er 0.05 under disse forutsetningene.

Stratifisert Utspørring

• Populasjonen deles inn i fire like store aldersgrupper A1, A2, A3, A4, hver med 25% sannsynlighet.
• Utspørring av like mange personer i hver aldersgruppe.
• Xi: Antall i aldersgruppe i som liker produktet.
• ni: Antall personer spurt i hver gruppe.
• pi: Sannsynligheten for at en person i gruppe i liker produktet.
• Den totale andelen p anslås som et gjennomsnitt av andelene innenfor hver gruppe. Det defineres som: p= 1/4 (p1 + p2 + p3 + p4).

Oppgave 4: Sammenligning av Testresultater og BNP

• Analyse av data for testresultater (skala 50-150) for 15-åringer og BNP over 30 år.
• Regresjonsanalyse er utført for å undersøke sammenhengen.

Tolkning av Regresjonsresultater

• Testresultater er sterkt signifikante (p-verdi < 0.001).
• Høy forklaringskraft (R-squared = 0.6302).
• En økning i testresultater predikerer en økning i BNP.
• Regresjonskoeffisienten for testresultat er 95.38.

Kritikk av Modellen

• Forsinket effekt: En annen gruppe mener at testresultater bør sammenlignes med BNP 15 år senere.
• Den alternative modellen sammenligner testresultater med BNP 15 år etter.
• Den nye modellen har lav forklaringskraft og er ikke-signifikant.