Matrizes: tipos e operações

Matrizes

Definição

• Uma matriz $A_{m \times n}$ é uma tabela com $m \cdot n$ elementos organizados em $m$ linhas e $n$ colunas.
• $m$ representa o número de linhas na matriz.
• $n$ indica o número de colunas na matriz.
• $a_{ij}$ especifica o elemento que está na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna.

Tipos de Matrizes

• Matriz Quadrada: O número de linhas é igual ao número de colunas ($m = n$).
• Matriz Linha: Possui uma única linha ($m = 1$).
• Matriz Coluna: Tem apenas uma coluna ($n = 1$).
• Matriz Nula: Todos os seus elementos são zero.
• Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada com todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero.
• Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
• Matriz Transposta: Obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original, denotada por $A^T$.
• Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada que é igual à sua transposta ($A = A^T$).

Operações com Matrizes

Adição e Subtração

• Para matrizes $A$ e $B$ com a mesma ordem ($m \times n$), a soma (ou diferença) $A \pm B$ é calculada somando (ou subtraindo) os elementos correspondentes: $(A \pm B){ij} = a{ij} \pm b_{ij}$.

Multiplicação por um Escalar

• Para uma matriz $A$ e um escalar $k$, a multiplicação de $A$ por $k$ resulta em cada elemento de $A$ multiplicado por $k$: $(kA){ij} = k \cdot a{ij}$.

Multiplicação de Matrizes

• Se $A$ é uma matriz $m \times p$ e $B$ é uma matriz $p \times n$, o produto $AB$ é uma matriz $m \times n$.
• Cada elemento $(AB){ij}$ é calculado como: $(AB){ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}$.
• $(AB)_{ij}$ é o produto interno da $i$-ésima linha de $A$ com a $j$-ésima coluna de $B$.

Determinante

• O determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada.
• Matriz de ordem 2: $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$.
• Matriz de ordem 3: $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$ (Regra de Sarrus).

Inversa de uma Matriz

• A inversa de uma matriz quadrada $A$, denotada por $A^{-1}$, satisfaz: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$, onde $I$ é a matriz identidade.
• Uma matriz possui inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Princípio de Bernoulli

• Descoberto por Daniel Bernoulli no século XVIII, o princípio estabelece que, em um fluxo invíscido, o aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com a diminuição na pressão ou na energia potencial do fluido.

Como os aviões voam

• O design da asa de um avião faz com que o ar flua mais rápido sobre a parte superior do que sob a asa.
• Fluxo de ar mais rápido implica menor pressão.
• Fluxo de ar mais lento implica maior pressão.
• A maior pressão sob a asa a impulsiona para cima em direção à menor pressão, gerando sustentação.

Equação de Bernoulli

• $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
  • $P$ = pressão
  • $\rho$ = densidade
  • $v$ = velocidade
  • $g$ = aceleração da gravidade
  • $h$ = altura

Aplicações do Princípio de Bernoulli

• Aviões
• Curva em bolas de beisebol
• Chaminés
• Atomizadores
• Máscaras de Venturi

Teorema do Limite Central

A Média Amostral

• Seja $X_1, X_2,..., X_n$ uma amostra aleatória de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$.
• A média amostral é: $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

Média da Média Amostral

• $E[\bar{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$

Desvio Padrão da Média Amostral

• $SD[\bar{X}] = SD[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} SD[\sum_{i=1}^{n} X_i] = \frac{1}{n} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} SD[X_i]^2} = \frac{1}{n} \sqrt{n\sigma^2} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

O Teorema do Limite Central (TLC)

• Ao amostrar de uma população com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, a média amostral $\bar{X}$ é aproximadamente normalmente distribuída com média $\mu$ e desvio padrão $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

Observações

1. A aproximação melhora à medida que $n$ aumenta.
2. A população não precisa ser normalmente distribuída.
3. Se a população for normal, então $\bar{X}$ é normal para qualquer $n$.

Exemplo 1

• A altura de um adulto americano escolhido aleatoriamente é normalmente distribuída com média de 70 polegadas e desvio padrão de 4 polegadas.
• Se pegarmos uma amostra aleatória de 100 adultos americanos, a probabilidade de a média da amostra ser maior que 71 polegadas é 0,0062.
• $P(\bar{X} > 71) = P(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} > \frac{71 - 70}{4 / \sqrt{100}}) = P(Z > 2.5) = 1 - P(Z \le 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$

Exemplo 2

• O tempo que um caixa de banco leva para atender um cliente é exponencialmente distribuído com uma média de 2 minutos e um desvio padrão de 2 minutos.
• Se observarmos 40 clientes, a probabilidade aproximada de seu tempo médio de atendimento ser maior que 2,5 minutos é 0,0571.
• $P(\bar{X} > 2.5) = P(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} > \frac{2.5 - 2}{2 / \sqrt{40}}) = P(Z > 1.58) = 1 - P(Z \le 1.58) = 1 - 0.9429 = 0.0571$

Relatório de Laboratório - Teste de Tração

• Curso: Tecnologia dos Materiais 1
• Data: 29/01/2024
• Membros do Grupo: Astrid Berg, Bo Erlandsson, Disa Hök

1. Introdução

• Um teste de tração foi realizado em um corpo de prova de aço para determinar suas propriedades materiais.
• O teste de tração é uma técnica fundamental para avaliar o comportamento de um material sob tensão uniaxial, envolvendo a aplicação controlada de força e a medição contínua da força aplicada e do alongamento resultante.
• O propósito é determinar as propriedades de tração de um corpo de prova de aço analisando a curva de tensão-deformação obtida e comparar os resultados experimentais com as propriedades estabelecidas para a liga de aço.

2. Método

• Foi utilizada uma máquina de teste universal (Instron 5969), extensômetro, paquímetro e um corpo de prova de aço.
• As dimensões do corpo de prova de aço foram medidas usando um paquímetro, determinando o diâmetro de 12mm.
• O corpo de prova foi montado nas garras da máquina de teste universal.
• Um extensômetro foi anexado ao corpo de prova para medir o alongamento durante o teste.
• Uma carga de tração foi aplicada ao corpo de prova a uma taxa constante de 2 mm/min até a fratura.
• Os dados de força e extensão foram registrados usando o sistema de aquisição de dados da máquina e processados para gerar uma curva de tensão-deformação.
• O módulo de Young, resistência ao escoamento, resistência à tração e alongamento na fratura foram determinados a partir da curva de tensão-deformação.
• Os resultados foram comparados com as propriedades conhecidas da liga de aço.

3. Resultados

3.1 Dimensões do Corpo de Prova

• Diâmetro: 12 mm
• Área da seção transversal: 113.1 $mm^2$
• Comprimento da bitola: 50 mm

3.2 Dados do Teste de Tração

3.3 Curva Tensão-Deformação

• A curva obtida ilustra o comportamento do corpo de prova sob estresse de tração crescente, incluindo a região elástica, ponto de escoamento, região de endurecimento por deformação e resistência máxima à tração, mostrando também o ponto de fratura.

4. Discussão

• O módulo de Young de 200 GPa indica a rigidez do material.
• A resistência ao escoamento de 300 MPa indica o nível de tensão no qual o material começa a exibir deformação plástica.
• A resistência à tração de 450 MPa indica a tensão máxima que o material pode suportar antes da falha.
• O alongamento na ruptura de 30% indica a ductilidade do aço.
• A redução de área de 40% reforça ainda mais a ductilidade do aço.
• Os valores obtidos são consistentes com os esperados para ligas de aço comuns.

5. Análise de Erro

• Erros sistemáticos podem surgir da calibração da máquina de teste e do extensômetro.
• Erros aleatórios podem ocorrer devido a variações nas dimensões do corpo de prova, condições de superfície ou ambiente de teste.
• Erros humanos podem surgir durante a preparação do corpo de prova, configuração do teste ou registro de dados.

6. Conclusões

• O teste de tração determinou com sucesso as propriedades mecânicas do corpo de prova de aço.
• Os resultados obtidos fornecem informações valiosas para fins de projeto de engenharia e seleção de materiais.
• Os resultados estão alinhados com as propriedades esperadas das ligas de aço comuns, confirmando a confiabilidade do procedimento de teste.