Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen, die als Elemente der Matrix bezeichnet werden.
• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet, wobei die Elemente mit entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes (Zeile, Spalte) notiert werden, z. B. $a_{23}$.
• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt und als $m \times n$ für eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ausgedrückt.

Operationen

• Addition ist nur für Matrizen gleicher Dimension möglich und erfolgt elementweise.
• Multiplikation mit einem Skalar erfolgt elementweise.
• Die Matrixmultiplikation erfordert, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt.

Matrixmultiplikationseigenschaften

• Assoziativität: $(AB)C = A(BC)$
• Distributivität bezüglich der Addition: $A(B + C) = AB + AC$ und $(A + B)C = AC + BC$
• Nichtkommutativität: Im Allgemeinen ist $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erhalten.
• Ist $A$ eine $m \times n$ Matrix, ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, wobei $(a^T){ij} = a{ji}$ gilt.

Eigenschaften der Transponierung

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(A^T)^T = A$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix $I$ ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen anderswo.
• Für jede Matrix A gilt: $AI = IA = A$.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, erfüllt $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet; andernfalls ist sie singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird und als det$(A)$ oder $|A|$ notiert wird.

Determinanteneigenschaften

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Determinantenberechung

• Für eine $2 \times 2$ Matrix $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ gilt: det$(A) = ad - bc$.
• Für eine $3 \times 3$ Matrix $A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix}$ gilt: det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$.

Kofaktorenmatrix

• Die Kofaktorenmatrix Com$(A)$ enthält die Kofaktoren von $A$, wobei der Kofaktor $c_{ij}$ durch $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ definiert ist und $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Entfernen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Inverse Berechnung

• Die Inverse einer Matrix kann mithilfe der Kofaktorenmatrix berechnet werden: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$.

Lösen linearer Gleichungssysteme

• Lineare Gleichungssysteme können in Matrixform als $Ax = b$ geschrieben werden.
• Wenn A invertierbar ist, ist die Lösung gegeben durch: $x = A^{-1}b$.

Kommunikationssystembestandteile

• Ein Kommunikationssystem besteht aus Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.

Kanalkapazität (C)

• Die Kanalkapazität (C) gibt die maximale Rate an, mit der zuverlässig Informationen über einen Kanal gesendet werden können, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.
• Für einen diskreten speicherlosen Kanal (DMC) wird die Kanalkapazität (C) durch $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$ definiert, wobei $I(X; Y)$ die gegenseitige Information und $p(x)$ die Eingangsverteilung ist.

Kanalkapazitätseigenschaften

• Die Kanalkapazität ist nie negativ: (C \geq 0).
• Die Größe des Eingangs- und des Ausgangsalphabets begrenzt die Kanalkapazität: (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)).

Beispiele für Kanalkapazitätsberechnung

• Beim rauschfreien binären Kanal (Ausgang ist immer gleich dem Eingang) ist die Kanalkapazität (C) 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Für den Rauschkanal mit nicht überlappenden Ausgängen (Ausgang ist eine deterministische Funktion des Eingangs) ist die Kanalkapazität (C) 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Beim Rauschschreiber (Alphabetgröße ist $|X| = a$) wird jeder Eingang sich selbst und dem nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugeordnet: $C = \log a - 1$.
• Binärer symmetrischer Kanal (BSC): Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit $p$, wobei ein Bit mit Wahrscheinlichkeit $p$ während der Übertragung umgedreht wird: $C = 1 - H(p)$.
• Binärer Löschkanal (BEC): Ein binärer Kanal, wobei ein Bit entweder mit Wahrscheinlichkeit $(1 - \alpha)$ korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ gelöscht wird: $C = 1 - \alpha$.

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass bei einer reibungslosen Strömung einer Flüssigkeit eine Erhöhung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie der Flüssigkeit einhergeht.
• Es wurde im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli entdeckt.

Flügel und Auftrieb

• Die Luft strömt schneller über die Oberfläche des Flügels als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck auf der Oberseite der Flügel.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied zwischen der Ober- und Unterseite des Flügels.

Flügelprofil

• Das Tragflächenprofil hat eine spezielle Form, um den Auftrieb zu maximieren, mit einer abgerundeten Vorderkante und einer scharfen Hinterkante.
• Der Druck auf der Oberseite ist geringer, und der Druck auf der Unterseite ist höher.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• $V$ ist die Fluidströmungsgeschwindigkeit
• $g$ ist die Erdbeschleunigung
• $z$ ist die Höhe
• $p$ ist der Druck
• $\rho$ ist die Dichte

Executive Summary wichtige Erkenntnisse

• Der Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse einer PSRA (Preliminary System Risk Assessment) zusammen.
• Identifizierte Bedrohungen umfassen Phishing (Social Engineering), Malware und DDoS-Angriffe.
• Gefundene Schwachstellen sind veraltete Software, schwache Konfigurationen und fehlende Netzwerksegmentierung.
• Mögliche Auswirkungen sind Datenverlust, Serviceunterbrechung und Rufschädigung.

Empfohlene Maßnahmen

• Mehrfaktorenauthentifizierung (MFA) implementieren.
• Anti-Malware-Lösungen und Firewalls verwenden.
• Netzwerkverkehr überwachen und filtern.
• Software regelmäßig aktualisieren und Sicherheitsupdates anwenden.
• Passwortrichtlinien und Zugriffskontrolle verstärken.
• Netzwerksegmentierung zur Begrenzung lateraler Bewegungen durchführen.

Nächste Schritte

• Penetrationstests durchführen.
• Einen Incident-Response-Plan entwickeln.
• Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Bedrohungserkennung schulen.
• Die Umsetzung der Empfehlungen ist für die Stärkung der Sicherheitsvorkehrungen und den Schutz der Vermögenswerte der Organisation von grundlegender Bedeutung.

Reguläre Ausdrücke

• Reguläre Ausdrücke sind Zeichenketten, die ein Suchmuster definieren, und werden zum Suchen, Bearbeiten oder Manipulieren von Zeichenketten verwendet.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus: literalen Zeichen (z. B. a, b, c, 1, 2, 3) und Metazeichen (z. B. ., *, +, ?, [], (), \|, ^, $).

Metazeichenbeschreibung

• . entspricht jedem einzelnen Zeichen außer einem Zeilenumbruch.
• * entspricht dem vorhergehenden Zeichen null oder mehrere Male.
• + entspricht dem vorhergehenden Zeichen einmal oder mehrmals.
• ? entspricht dem vorhergehenden Zeichen null- oder einmal.
• [ ] definiert eine Zeichenklasse und passt auf jedes Zeichen innerhalb der Klammern.
• ( ) gruppiert Ausdrücke.
• \| verknüpft Ausdrücke mit ODER.
• ^ passt auf den Anfang einer Zeichenkette.
• $ passt auf das Ende einer Zeichenkette.

Zeichenklassenbeschreibung

• \d entspricht einer Ziffer (0-9).
• \D entspricht einem Zeichen, das keine Ziffer ist.
• \w entspricht einem "Wortzeichen" (Buchstaben, Ziffern und Unterstrich).
• \W entspricht einem Zeichen, das kein "Wortzeichen" ist.
• \s entspricht einem Leerraumzeichen (Leerzeichen, Tabulator, Zeilenumbruch usw.).
• \S entspricht einem Zeichen, das kein Leerraumzeichen ist.

Quantorenbeschreibung

• {n} entspricht dem vorhergehenden Zeichen genau n Mal.
• {n,} entspricht dem vorhergehenden Zeichen n- bis mehrmals.
• {n,m} entspricht dem vorhergehenden Zeichen n- bis m-mal.

Beispiele für reguläre Ausdrücke

• a.c: Entspricht "abc", "adc", "aec" usw.
• a*: Entspricht "", "a", "aa", "aaa" usw.
• a+: Entspricht "a", "aa", "aaa" usw. (aber nicht "").
• a?: Entspricht "" oder "a".
• [abc]: Entspricht "a", "b" oder "c".
• [a-z]: Entspricht jedem Kleinbuchstaben.
• [0-9]: Entspricht jeder Ziffer.
• ^abc$: Entspricht nur der Zeichenkette "abc".
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Entspricht ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX".

Verwendung regulärer Ausdrücke

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren zur MVM verwendet und umfassen:
• Suchen und Ersetzen von Text.
• Validieren von Daten.
• Extrahieren von Text.
• Parsen von Text.

Trigonometrische Funktionen

• Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken:
  • Sinus: $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus: $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens: $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
• Reziproke Verhältnisse:
  • Kosekans: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
  • Sekans: $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
  • Kotangens: $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Einheitskreis

• Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Seite der Winkel $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Trigonometrische Funktionswerte

• $\sin \theta$, $\cos \theta$ und $\tan \theta$ haben bekannte Werte bei bestimmten Winkeln (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

Graphen trigonometrischer Funktionen

• Sinusfunktion: Periode $2\pi$, Amplitude 1, Definitionsbereich $(-\infty, \infty)$, Wertebereich $[-1, 1]$.
• Kosinusfunktion: Periode $2\pi$, Amplitude 1, Definitionsbereich $(-\infty, \infty)$, Wertebereich $[-1, 1]$.
• Tangensfunktion: Periode $\pi$, Definitionsbereich $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, Wertebereich $(-\infty, \infty)$, vertikale Asymptoten bei $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$.

Trigonometrische Identitäten

• Pythagoreische Identitäten:
  • $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
  • $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
  • $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
• Winkelsummen- und Differenzidentitäten:
  • $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
  • $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
  • $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$
• Doppelwinkelidentitäten:
  • $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
  • $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
  • $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$
• Halbwinkelidentitäten:
  • $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
  • $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
  • $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (Arcussinus oder $\sin^{-1}$): $y = \sin^{-1} x$ gdw. $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Inverser Kosinus (Arkuscosinus oder $\cos^{-1}$): $y = \cos^{-1} x$ gdw. $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.
• Inverser Tangens (Arkus Tangens oder $\tan^{-1}$): $y = \tan^{-1} x$ gdw. $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

• Sinussatz: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
• Kosinussatz: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$