Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Es handelt sich um ein Zahlenschema.
• Die Zahlen werden Elemente der Matrix genannt.

Beispiel

• Gegeben sei die Matrix: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben, ergänzt um Zeilen- und Spaltenindex.
• $a_{23}$ ist das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ergibt sich aus Zeilen x Spalten.
• Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine m x n Matrix.

Operationen

Addition

• Nur Matrizen gleicher Dimension können addiert werden.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Für zwei m x n Matrizen A und B ist C = A + B ebenfalls eine m x n Matrix, bei der gilt: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle i und j.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Für eine m x n Matrix A und einen Skalar k ist B = kA ebenfalls eine m x n Matrix mit $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle i und j.

Matrixmultiplikation

• Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.
• Für eine m x n Matrix A und eine n x p Matrix B ist C = AB eine m x p Matrix mit $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle i und j.

Eigenschaften

Assoziativität

• Es gilt: $(AB)C = A(BC)$

Distributivität in Bezug auf Addition

• Es gilt: $A(B + C) = AB + AC$
• Es gilt: $(A + B)C = AC + BC$

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen gilt: $AB \neq BA$

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix A, ausgedrückt als $A^T$, entsteht durch das Austauschen von Zeilen und Spalten.
• Wenn A eine m x n Matrix ist, ist $A^T$ eine n x m Matrix, wobei gilt: $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle i und j.

Eigenschaften

• Es gilt: $(A + B)^T = A^T + B^T$
• Es gilt: $(kA)^T = kA^T$
• Es gilt: $(AB)^T = B^T A^T$
• Es gilt: $(A^T)^T = A$

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix, als I bezeichnet, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen an anderer Stelle. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix A gilt: AI = IA = A.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix A, als $A^{-1}$ bezeichnet, ist die Matrix, für die gilt: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$
• Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.
• Eine Matrix mit einer Inversen ist invertierbar oder regulär. Andernfalls ist sie singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante von A wird als det(A) oder |A| notiert.

Eigenschaften

• Es gilt: det$(A^T)$ = det$(A)$
• Es gilt: det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• Es gilt: det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

• det(A) = ad - bc

3x3-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$

• det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Kofaktorenmatrix

• Die Kofaktorenmatrix einer Matrix A, als Com(A) bezeichnet, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von A sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht.

Eigenschaft

• Es gilt: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet werden.
• Gegeben sei folgendes System:

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: Ax = b, wobei gilt:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$ $$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$ $$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn A invertierbar ist, ist die Lösung des Systems x = $A^{-1}b$.

Vorlesung 18: Kanalkapazität

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, einem Sender, einem Kanal, einem Empfänger und einem Ziel.
• Die Informationsquelle erzeugt die zu sendende Nachricht.
• Der Sender wandelt das Nachrichtensignal in eine geeignete Form für die Übertragung über den Kanal um.
• Der Kanal ist das physikalische Medium, über das sich das Signal ausbreitet.
• Der Empfänger rekonstruiert die ursprüngliche Nachricht aus dem empfangenen Signal.
• Das Ziel ist der vorgesehene Empfänger der Nachricht.

Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität, bezeichnet durch (C), ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Sie wird gemessen in Bit pro Kanalnutzung.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• Bei einem DMC ist der Kanal definiert durch eine Menge von Übergangswahrscheinlichkeiten (P(y|x)), wobei (x) das Eingangssymbol und (y) das Ausgangssymbol ist.
• Der Kanal ist speicherlos, d.h. der aktuelle Ausgang hängt nur vom aktuellen Eingang ab und nicht von vergangenen Eingängen oder Ausgängen.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität (C) eines DMC ist gegeben durch: $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$
  • wobei:
    • (I(X; Y)) die Mutual Information zwischen dem Eingang (X) und dem Ausgang (Y) ist.
    • (p(x)) die Eingangswahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• (C \geq 0): Die Kanalkapazität ist nicht-negativ.
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)): Die Kanalkapazität ist durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt.

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

• 1. Rauschfreier binärer Kanal:

  • Übergangsmatrix: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
  • Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

• 2. Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen:

  • Übergangsmatrix: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
  • Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

• 3. Verrauschter Fernschreiber:

  • Für ein Alphabet der Größe (|X| = a) wird jeder Eingang mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf sich selbst und den nächsten Buchstaben abgebildet.
  • (C = \log a - 1)

• 4. Binärer symmetrischer Kanal (BSC):

  • Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit (p), bei dem ein Bit mit Wahrscheinlichkeit (p) während der Übertragung gekippt wird.
  • (C = 1 - H(p)), wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

• 5. Binärer Erasure-Kanal (BEC):

  • Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder korrekt mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird.
  • (C = 1 - \alpha)

• Diese Beispiele veranschaulichen, wie die Kanalkapazität für verschiedene Arten von Kanälen berechnet wird und wie sie von den Kanaleigenschaften und der Eingangsverteilung abhängt.

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, das von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert entdeckt wurde, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Oberfläche des Flügels als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck oben.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächenprofilgestaltung

• Spezialisierte Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$ - wobei: - $V$ Flüssigkeitsströmungsgeschwindigkeit ist - $g$ die Erdbeschleunigung ist - $z$ die Höhe ist - $p$ der Druck ist - $\rho$ die Dichte ist

Executive Summary

Einleitung

• Der vorliegende Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der vorläufigen Systemrisikobewertung (Preliminary System Risk Assessment, PSRA) des Systems zusammen.

Zentrale Ergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Zugangsdaten.
• Malware: Schadsoftware, die die Integrität des Systems beeinträchtigt.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Überlastung von Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und nachlässige Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte seitliche Bewegung im Falle eines Eindringens.

Potenzielles Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsabwehr

• Implementierung der Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Netzwerkverkehr überwachen und filtern, um Anomalien zu erkennen.

Schwachstellen schliessen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks, um laterale Bewegungen einzuschränken.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwicklung eines Reaktionsplans für Vorfälle, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu minimieren.
• Schulung der Mitarbeiter in Bezug auf IT-Sicherheit und Bedrohungsbewusstsein.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat die Identifizierung erheblicher Risiken ermöglicht, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitslage zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Diese Definition erlaubt es, Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus:
  • Literale Zeichen: z.B. a, b, c, 1, 2, 3
  • Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. ., *, +, ?, [], (), |, ^, $

Metazeichen

Zeichenklassen

Quantoren

Beispiele

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec" usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa" usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa" usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Reguläre Ausdrücke erlauben es, Text zu manipulieren: Text zu suchen und zu ersetzen, Daten zu validieren, Text zu extrahieren und zu analysieren.

Werkzeuge

• Es gibt viele Online-Tools, um reguläre Ausdrücke zu testen und zu debuggen.

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Reguläre Ausdrücke sollten sorgfältig zu testen werden, um sicherzustellen, dass sie das richtige Ergebnis liefern.
• Es gibt verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken, deren Syntax kann je nach Programmiersprache oder Tool variieren kann.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem spitzen Winkel $\theta$ :
  • Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Kehrwerte:

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachten wir einen Einheitskreis (Radius = 1) mit dem Mittelpunkt im Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

• $y = \sin x$
  • Periode: $2\pi$
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
  • Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

• $y = \cos x$
  • Periode: $2\pi$
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
  • Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

• $y = \tan x$
  • Periode: $\pi$
  • Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
  • Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
  • Senkrechte Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel-Summe- und Differenz-Identitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkel-Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkel-Identitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$):
  • $y = \sin^{-1} x$ genau dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Inverser Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):
  • $y = \cos^{-1} x$ genau dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.
• Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$):
  • $y = \tan^{-1} x$ genau dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$