Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist ein Zahlenarray.
• Die Zahlen in der Matrix werden als Elemente bezeichnet.

Beispiel

• Eine Beispielmatrix A wird dargestellt mit [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ].

Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Elemente einer Matrix dementsprechend mit Kleinbuchstaben, indiziert mit Zeile und Spalte, also z.B. a23 für das Element in der zweiten Zeile, dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt.
• Eine m x n Matrix hat m Zeilen und n Spalten.

Operationen

Addition

• Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben.
• Die Addition erfolgt elementweise: C = A + B, wobei cij = aij + bij für alle i und j.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einem Skalar multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise: B = kA, wobei bij = kaij für alle i und j.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.
• A ist eine m x n Matrix, B ist eine n x p Matrix, dann ist C = AB eine m x p Matrix, wobei cij = Summe von k=1 bis n (aik * bkj).

Eigenschaften

Assoziativität

• Es gilt: (AB)C = A(BC)

Distributivität bezüglich der Addition

• Es gilt: A(B + C) = AB + AC
• Es gilt: (A + B)C = AC + BC

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt: AB ≠ BA.

Transposition

• Die Transponierte AT einer Matrix A wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhalten.
• Wenn A eine m x n Matrix ist, ist AT eine n x m Matrix, wobei (aT)ij = aji für alle i und j.

Eigenschaften

• (A + B)T = AT + BT
• (kA)T = kAT
• (AB)T = BT AT
• (AT)T = A

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix I ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen überall sonst.
• Für jede Matrix A gilt: AI = IA = A.

Inverse

• Die Inverse A-1 einer Matrix A erfüllt: AA-1 = A-1A = I.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet. Matrizen ohne Inverse sind singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird, Notation: det(A) oder |A|.

Eigenschaften

• det(AT) = det(A)
• det(AB) = det(A) * det(B)
• det(A-1) = 1 / det(A)

Berechnung der Determinante

2x2-Matrix

• Für A = [ a b; c d ] : det(A) = ad - bc

3x3-Matrix

• Für A = [ a b c; d e f; g h i ]: det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix Com(A) einer Matrix A enthält die Kofaktoren von A.
• Der Kofaktor cij des Elements aij ist definiert als cij = (-1)^(i+j) * Mij, wobei Mij die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht.

Eigenschaft

• A-1 = (1 / det(A)) * Com(A)T

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Gegeben ein System von linearen Gleichungen Ax = b.
• Wenn A invertierbar ist, ist die Lösung des Systems x = A-1b.

Kommunikationssystem

• Es besteht aus Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.

Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.
• Für einen diskreten speicherlosen Kanal (DMC): C = max(p(x)) I(X; Y), wobei I(X; Y) die Mutual Information zwischen Eingang (X) und Ausgang (Y) ist und p(x) die Eingangsverteilung.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• (C \geq 0)
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)) (Begrenzt durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete)

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier binärer Kanal

• Eingangs- und Ausgangssignal stimmen immer überein.
• Die Kanalkapazität ist (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit nicht-überlappenden Ausgängen

• Der Ausgang ist eine deterministische Funktion des Eingangs, aber nicht unbedingt gleich.
• Die Kanalkapazität ist (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Fernschreiber

• Für ein Alphabet der Größe (|X| = a) wird jeder Eingang mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf sich selbst und den nächsten Buchstaben abgebildet: (C = \log a - 1)

Binärer symmetrischer Kanal (BSC)

• Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit (p), wobei ein Bit während der Übertragung mit Wahrscheinlichkeit (p) umgeklappt wird.
• (C = 1 - H(p)), wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Löschkanal (BEC)

• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder korrekt mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird.
• (C = 1 - \alpha)

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Zunahme der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Flügelfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck darüber.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächenprofil-Design

• Spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

• $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$
• V ist die Strömungsgeschwindigkeit
• g ist die Erdbeschleunigung
• z ist die Höhe
• p ist der Druck
• (\rho) ist die Dichte

Zusammenfassung des Exekutivberichts

Einführung

• Der vorliegende Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA-Risikobewertung (Preliminary System Risk Assessment) des Systems zusammen.

Hauptergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing
  • Social Engineering Angriffe zur Beschaffung von Zugangsdaten.
• Malware
  • Schadsoftware, die die Systemintegrität beeinträchtigt.
• DDoS-Angriffe
  • Dienstunterbrechung durch Sättigung der Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software
  • Fehlende Sicherheitsupdates.
• Schwache Konfigurationen
  • Standardpasswörter und lasche Zugangsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung
  • Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Mögliche Auswirkungen

• Datenverlust
  • Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Service-Unterbrechung
  • Systemausfall, der den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden
  • Vertrauensverlust von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsminimierung

• Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Schließen von Schwachstellen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung der lateralen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Incident-Response-Plans zur Minderung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung der Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat erhebliche Risiken identifiziert, die die Systemsicherheit beeinträchtigen könnten.
• Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitslage zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert, zur Suche, Bearbeitung und Manipulation von Zeichenketten.

Syntax

• Besteht aus Literalen und Metazeichen.

Metazeichen

• . Passt auf jedes einzelne Zeichen außer Zeilenumbruch.
• * Passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder mehr Male.
• + Passt auf das vorhergehende Zeichen 1 oder mehr Male.
• ? Passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder 1 Mal.
• [] Definiert eine Zeichenklasse.
• () Gruppiert Ausdrücke.
• | Oder-Verknüpfung.
• ^ Passt auf den Anfang einer Kette.
• $ Passt auf das Ende einer Kette.

Zeichenklassen

• \d Passt auf eine Ziffer (0-9).
• \D Passt auf ein Zeichen, das keine Ziffer ist.
• \w Passt auf ein Wortzeichen(Buchstabe, Zahl oder Unterstrich).
• \W Passt auf ein Zeichen, das kein Wortzeichen ist.
• \s Passt auf ein Leerzeichen.
• \S Passt auf ein Zeichen, das kein Leerzeichen ist.

Quantoren

• {n} Passt auf das vorherige Zeichen genau n Mal.
• {n,} Passt auf das vorherige Zeichen n oder mehr Male.
• {n,m} Passt auf das vorherige Zeichen min. n, max. m Male.

Beispiele

• a.c Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a* Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+ Passt auf "a", "aa", "aaa", usw.
• a? Passt auf "" oder "a"
• [abc] Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z] Passt auf jeden Kleinbuchstaben.
• [0-9] Passt auf jede Ziffer.
• ^abc$ Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4} Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Text suchen und ersetzen
• Daten validieren
• Text extrahieren
• Text parsen

Werkzeuge

• Regex101: https://regex101.com/
• RegExr: https://regexr.com/
• Zu beachten: Die Syntax kann sich je nach Programmiersprache unterscheiden.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse für rechtwinklige Dreiecke

• Sinus: Sinus(θ) = Gegenkathete / Hypotenuse
• Cosinus: Cosinus(θ) = Ankathete / Hypotenuse
• Tangens: Tangens(θ) = Gegenkathete / Ankathete
• Cosekans: Cosekans(θ) = 1 / sin(θ) = Hypotenuse / Gegenkathete
• Sekans: Sekans(θ) = 1 / cos(θ) = Hypotenuse / Ankathete
• Cotangens: Cotangens(θ) = 1 / tan(θ) = Ankathete / Gegenkathete

Der Einheitskreis

• Betrachtung des Einheitskreises erlaubt trigonometrische Funktionen für alle Winkel
• Winkel θ wird gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen.
• Punkt, an dem die Endseite von θ den Einheitskreis schneidet: (cos θ, sin θ)
• tan θ = sin θ / cos θ

Wichtige Werte

Graphen der trigonometrischen Funktionen

• Sinusfunktion: y = sin x
  • Periode: 2π
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: (-∞, ∞)
  • Wertebereich: [-1, 1]
• Kosinusfunktion: y = cos x
  • Periode: 2π
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: (-∞, ∞)
  • Wertebereich: [-1, 1]
• Tangensfunktion: y = tan x
  • Periode: π
  • Definitionsbereich: x ≠ π/2 + nπ, wobei n eine ganze Zahl
  • Wertebereich: (-∞, ∞)
  • Vertikale Asymptoten: x = π/2 + nπ

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitätem

• sin^2 θ + cos^2 θ = 1
• 1 + tan^2 θ = sec^2 θ
• 1 + cot^2 θ = csc^2 θ#### Winkeladdition

Winkeladditions- und -subtraktionsident

• sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
• cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
• tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

Doppelwinkelidentitäten

• sin(2θ) = 2sin θ cos θ
• cos(2θ) = cos^2 θ - sin^2 θ = 2cos^2 θ - 1 = 1 - 2sin^2 θ
• tan(2θ) = (2tan θ) / (1 - tan^2 θ)

Halbwinkel-Identitäten

• sin(θ/2) = ± sqrt((1 - cos θ) / 2)
• cos(θ/2) = ± sqrt((1 + cos θ) / 2)
• tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (arcsin oder sin^-1):
  • y = sin^-1 x genau dann, wenn sin y = x, -1 ≤ x ≤ 1 und -π/2 ≤ y ≤ π/2.
• Inverser Cosinus (arccos oder cos^-1):
  • y = cos^-1 x genau dann, wenn cos y = x; -1 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ π.
• Inverser Tangens (arctan oder tan^-1):
  • y = tan^-1 x genau dann, wenn tan y = x, -∞ < x < ∞, -π/2 < y < π/2.

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C ist a/sin A = b/sin B = c/sin C

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und gegenüberliegendem Winkel C gilt c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C