Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in einem Rechteck.
• Die Zahlen in der Matrix werden als Elemente bezeichnet.

Beispiel

• Die Matrix A ist gegeben als: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden meistens durch Großbuchstaben abgekürzt.
• Die Elemente werden durch den zugehörigen Kleinbuchstaben dargestellt
• Der Wert $a_{23}$ ist das Element in der zweiten Zeile und der dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen und Spalten.
• $m$ Zeilen und $n$ Spalten entsprechen einer $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Zwei Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• $A$ und $B$ sind zwei $m \times n$ Matrizen, $C = A + B$ ist auch eine $m \times n$ Matrix, dann gilt $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl, einem Skalar, multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist und $k$ ein Skalar ist, dann $B = kA$ ist eine $m \times n$ Matrix
• $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann $C = AB$ ist eine $m \times p$ Matrix
• Die einzelnen Werte können wie folgt berechnet werden $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• $$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität in Bezug auf Addition

• $$A(B + C) = AB + AC$$
• $$(A + B)C = AC + BC$$

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen gilt $AB \neq BA$.

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix $A$, geschrieben als $A^T$, bekommt man durch einen Austausch der Zeilen und Spalten.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix mit $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften der Matrizen

• $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
• $$(kA)^T = kA^T$$
• $$(AB)^T = B^T A^T$$
• $$(A^T)^T = A$$

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix, dargestellt durch $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen anderswo. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix $A$ gilt $AI = IA = A$.

Inverse Matrix

• Die Inverse Matrix $A$, dargestellt als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer inversen Matrix heisst invertierbar oder regulär, eine Matrix ohne Inverse heisst singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die durch die Elemente der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante der Matrix $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften der Determinanten

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinanten

2x2 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

• det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$

• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, notiert als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ wird definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
• $M_{ij}$ ist die Determinante der Matrix, die erhalten wird, indem man die i-te Zeile und die j-te Spalte von $A$ entfernt.

Eigenschaft

• $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

• Wir betrachten das folgende System linearer Gleichungen: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Das System kann in Matrixform geschrieben werden als $Ax = b$, wobei

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$

$$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn $A$ invertierbar ist, ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Lektion 18: Kanalkapazität

• Ein Kommunikationssystem enthält eine Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.
• Die Kanalkapazität ($C$) ist die maximale Rate, mit welcher Informationen zuverlässig über einen Übertragungskanal kommuniziert werden.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• Die Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$ beschreiben dieses Objekt.
• Aktuelle Ausgabe hängt nur von aktueller Eingabe ab.

Kanalkapazität eines DMCs

• $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$
• (I(X; Y)) ist die gegenseitige Information zwischen Eingabe (X) und Ausgabe (Y).
• (p(x)) ist die Input-Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• (C \geq 0): Die Kanalkapazität ist nicht negativ.
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)): Die Kanalkapazität ist durch die Grösse der Eingangs- und Ausgangsalphabete limitiert.

Beispiele für die Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier binärer Kanal

• Die Ausgabe ist immer die Eingabe.
• (p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix})
• Kanalkapazität ist (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal ohne überlappende Ausgänge

• Ausgabe ist eine deterministische Funktion der Eingabe, aber nicht zwingend identisch.
• (p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix})
• Kanalkapazität ist (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschte Schreibmaschine

• Für Alphabetgröße (|X| = a), wird jede Eingabe auf sich selbst und den nächsten Buchstaben gleichverteilt abgebildet
• $C = \log a - 1$

Binärer symmetrischer Kanal (BSC)

• Binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit (p)
• Ein Bit wird mit Wahrscheinlichkeit (p) während der Übertragung umgedreht.
• $C = 1 - H(p)$, wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Auslöschungskanal (BEC)

• Ein Bit wird entweder korrekt übertragen, mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha), oder gelöscht mit Wahrscheinlichkeit (\alpha).
• $C = 1 - \alpha$

Bernoulli'sches Prinzip

• Das Bernoulli'sche Prinzip, entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids auftritt.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über als unter die Tragfläche.
• Die höhere Geschwindigkeit führt zu einem niedrigeren Druck oben.
• Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächendesign

• Spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

Dabei ist:

• $V$ die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit
• $g$ die Erdbeschleunigung
• $z$ die Höhe
• $p$ der Druck
• $\rho$ die Dichte

Zusammenfassung

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment)-Risikobewertung des Systems zusammen.

Wichtigste Feststellungen

• Identifizierte Bedrohungen:
  • Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Zugangsdaten.
  • Malware: Schadsoftware, die die Systemintegrität gefährdet.
  • DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung der Ressourcen.
• Entdeckte Schwachstellen:
  • Veraltete Software: Fehlende Sicherheitsupdates.
  • Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugriffsrichtlinien.
  • Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Einbruchs.
• Mögliche Auswirkungen:
  • Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
  • Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
  • Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsminderung

• Implementierung einer Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs, um Anomalien zu erkennen.

Schließen von Schwachstellen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks, um die laterale Bewegung einzuschränken.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwicklung eines Notfallplans, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu mildern.
• Schulung des Personals in IT-Sicherheit und Bedrohungsbewusstsein.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat wesentliche Risiken identifiziert, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist grundlegend, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Assets der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die ein Suchmuster definiert. Sie werden verwendet, um nach Zeichenfolgen zu suchen, sie zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus:
  • Literalen Zeichen: z. B. a, b, c, 1, 2, 3.
  • Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z. B. ., *, +, ?, [], (), |, ^,$

Metazeichen

Zeichenklassen

Quantoren

Beispiele

• a.c: Passt zu "abc", "adc", "aec" usw.
• a*: Passt zu "", "a", "aa", "aaa" usw.
• a+: Passt zu "a", "aa", "aaa" usw. (Jedoch nicht zu "")
• a?: Passt zu "" oder "a"
• [abc]: Passt zu "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt zu jedem Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt zu einer beliebigen Ziffer
• ^abc$: Passt nur zu der Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt zu einem Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt. Sie können verwendet werden, um:
  • Text zu suchen und zu ersetzen
  • Daten zu validieren
  • Text zu extrahieren
  • Text zu parsen

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel $\theta$:

• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse:

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachte einen Einheitskreis (Radius = 1) mit Mittelpunkt im Nullpunkt.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen der trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Cosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Trigonometrischer Pythagoras

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel-Summen- und Differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkel-Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkel-Identitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

Arkussinus (arcsin oder $\sin^{-1}$):

• $y = \sin^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Arkuskosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):

• $y = \cos^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.

Arkustangens (arctan oder $\tan^{-1}$):

• $y = \tan^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$