Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist ein Zahlenarray.
• Die Zahlen innerhalb einer Matrix werden Elemente genannt.

Beispiel einer Matrix

A = [
1 2 3
4 5 6
7 8 9
]

Notation von Matrizen

• Matrizen werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Elemente werden durch den entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes notiert, die Zeile und Spalte angeben.
• Beispiel: a23 bezieht sich auf das Element in der zweiten Zeile und der dritten Spalte.

Dimension einer Matrix

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt.
• Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine m x n Matrix.

Operationen mit Matrizen

Addition von Matrizen

• Nur Matrizen gleicher Dimension können addiert werden.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Für zwei Matrizen A und B der Größe m x n ist C = A + B eine Matrix der Größe m x n, wobei cij = aij + bij für alle i und j.

Multiplikation mit Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl multipliziert werden (Skalar).
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Für eine Matrix A der Größe m x n und einen Skalar k ist B = kA eine Matrix der Größe m x n, wobei bij = kaij für alle i und j.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Für Matrizen A (m x n) und B (n x p) ist C = AB eine Matrix der Größe m x p, wobei cij = Σ(k=1 bis n) aikbkj für alle i und j.

Eigenschaften der Matrizen

Assoziativität

• (AB)C = A(BC)

Distributivität bezüglich der Addition

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen ist AB ≠ BA.

Transposition von Matrizen

• Die Transponierte einer Matrix A, bezeichnet als AT, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhalten.
• Wenn A eine m x n Matrix ist, dann ist AT eine n x m Matrix, wobei (aT)ij = aji für alle i und j.

Eigenschaften der Transposition

• (A + B)T = AT + BT
• (kA)T = kAT
• (AB)T = BTAT
• (AT)T = A

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix, bezeichnet als I, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an anderer Stelle.

I = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]

• Für jede Matrix A gilt: AI = IA = A.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix A, bezeichnet als A-1, erfüllt die Bedingung AA-1 = A-1A = I.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet. Andernfalls ist sie singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante von Matrix A wird als det(A) oder |A| notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det(AT) = det(A)
• det(AB) = det(A)det(B)
• det(A-1) = 1/det(A)

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

• Für A = [a b; c d] gilt: det(A) = ad - bc

3x3 Matrix

• Für A = [a b c; d e f; g h i] gilt: det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix A, bezeichnet als Com(A), enthält die Kofaktoren von A als Elemente.
• Der Kofaktor cij des Elements aij ist definiert als cij = (-1)i+jMij, wobei Mij die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht.

Eigenschaft der Kofaktormatrix

• A-1 = (1/det(A)) Com(A)T

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.
• Das System Ax = b kann gelöst werden, wobei A die Koeffizientenmatrix, x die Variablenmatrix und b die Ergebnismatrix darstellt.
• Wenn A invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems x = A-1b.

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus Signalquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.

Kanal Kapazität

• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Gemessen in Bits pro Kanalnutzung.

Diskreter, Gedächtnisloser Kanal (DMC)

• Ein DMC wird durch Übergangswahrscheinlichkeiten P(y|x) definiert, wobei x ein Eingangszeichen und y ein Ausgangszeichen ist.
• Der Kanal ist gedächtnislos, d.h. der aktuelle Ausgang hängt nur vom aktuellen Eingang ab.

Kanalkapazität eines DMC

• C = max p(x) I(X; Y), wobei I(X; Y) die Mutual Information zwischen Eingangs- (X) und Ausgangs- (Y) ist.
• p(x) ist die Eingangsverteilungswahrscheinlichkeit.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• C ≥ 0: Die Kanalkapazität ist nicht-negativ.
• C ≤ min(log |X|, log |Y|): Die Kanalkapazität ist durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt.

Beispiele für die Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier Binärkanal

• Kanalkapazität: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen

• Kanalkapazität: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.

Noisy Typewriter

• Für ein Alphabet der Größe |X| = a: C = log a - 1

Binärer Symmetrischer Kanal (BSC)

• Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit p: C = 1 - H(p), wobei H(p) die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Erasure-Kanal (BEC)

• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit α gelöscht wird: C = 1 - α

Bernoulli'sches Prinzip

• Bei einer reibungsfreien Strömung führt eine Erhöhung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit gleichzeitig zu einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie der Flüssigkeit.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Oberfläche des Flügels als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen niedrigeren Druck oberhalb.
• Auftrieb wird durch den Druckunterschied erzeugt.

Tragflächenform

• Spezialisierte Form, um den Auftrieb zu maximieren.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Niedrigerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Bernoulli Gleichung

• V^2/2 + gz + p/ρ = konstant
  • V: Flüssigkeitsströmungsgeschwindigkeit
  • g: Erdbeschleunigung
  • z: Höhe
  • p: Druck
  • ρ: Dichte

Exekutivzusammenfassung

Einleitung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment)-Risikobewertung des Systems zusammen.

Hauptergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe, um Anmeldedaten zu erhalten.
• Malware: Schädliche Software, die die Systemintegrität gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung der Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lockere Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Einbruchs.

Mögliche Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstausfall: Systemausfall, der den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

Reduzierung von Bedrohungen

• Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachen und Filtern des Netzwerkverkehrs, um Anomalien zu erkennen.

Schwachstellen schließen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwenden von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks, um die laterale Bewegung zu begrenzen.

Nächste Schritte

• Durchführung von Härtetests, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwicklung eines Notfallplans, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu mildern.
• Schulung des Personals in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA-Bewertung hat es ermöglicht, signifikante Risiken zu identifizieren, die sich auf die Systemsicherheit auswirken könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Audrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus Literalen Zeichen und Metazeichen.

Metazeichen Tabelle

Zeichenklassen Tabelle

Quantoren Tabelle

Anwendungsgebiete

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Sie werden verwendet um Text zu suchen, zu ersetzen oder zu extrahieren.

Werkzeuge für Analyse von Regulären Ausdrücken

• Regex101: https://regex101.com/
• RegExr: https://regexr.com/

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse (rechtwinkliges Dreieck)

• Definiert für einen spitzen Winkel
  • Sinus: Gegenkathete / Hypotenuse
  • Kosinus: Ankathete / Hypotenuse
  • Tangens: Gegenkathete / Ankathete
• Reziproke Verhältnisse
  • Kosekans: 1/Sinus = Hypotenuse / Gegenkathete
  • Sekans: 1/Kosinus = Hypotenuse / Ankathete
  • Kotangens: 1/Tangens = Ankathete / Gegenkathete

Einheitskreis

• Kreis mit Radius 1 um den Koordinatenursprung
• Winkel (θ) wird entgegen dem Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen
• Koordinaten des Schnittpunkts des Schenkels von θ mit dem Einheitskreis sind (cos θ, sin θ)
• Tangens = Sinus / Kosinus

Schlüsselwerte

Graphen Trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

• $y = \sin x$
  • Periode: $2\pi$
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
  • Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

• $y = \cos x$
  • Periode: $2\pi$
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
  • Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

• $y = \tan x$

  • Periode: $\pi$
  • Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, (n ist eine ganze Zahl)
  • Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
  • Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Additionstheoreme

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkelformeln

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelformeln

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Umkehrfunktionen

Arkussinus

• $y = \sin^{-1} x$, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

Arkuskosinus

• $y = \cos^{-1} x$, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$

Arkustangens

• $y = \tan^{-1} x$, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

Gesetzmäßigkeiten

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten:
• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkel C gegenüber Seite c:
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$