Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen, die als Elemente der Matrix bezeichnet werden.

Beispiel

• Darstellung einer 3x3 Matrix A: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden üblicherweise durch Großbuchstaben dargestellt.
• Elemente einer Matrix werden durch den entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes gekennzeichnet: Zeile und Spalte, z.B. ist $a_{23}$ das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen und Spalten.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten wird als $m \times n$ Matrix bezeichnet.

Operationen

Addition

• Die Addition ist nur für Matrizen gleicher Dimension möglich.
• Die Addition erfolgt elementweise; für Matrizen $A$ und $B$ gilt $C = A + B$ mit $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise; für Matrix $A$ und Skalar $k$ gilt $B = kA$ mit $b_{ij} = ka_{ij}$.

Multiplikation von Matrizen

• Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix der Zeilenanzahl der zweiten entspricht.
• Für $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) ergibt sich $C = AB$ ($m \times p$) mit $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.

Eigenschaften

Assoziativität

• $(AB)C = A(BC)$

Distributivität bezüglich der Addition

• $A(B + C) = AB + AC$
• $(A + B)C = AC + BC$

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erzeugt.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix mit $(a^T){ij} = a{ji}$.

Eigenschaften der Transponierten

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(A^T)^T = A$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen sonst. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix $A$ gilt $AI = IA = A$.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet, andernfalls singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist ein Wert, der aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante von $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

• det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$

• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ wird definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ der Determinant der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Eigenschaft der Inversen über Kofaktoren

• $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet werden.
• Das System $Ax = b$ kann mit Matrizen geschrieben werden, wobei $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$, $$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$, $$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$
• Wenn $A$ invertierbar ist, ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Kanalkapazität

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem umfasst eine Informationsquelle, einen Sender, einen Kanal, einen Empfänger und ein Ziel.

Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität ($C$) ist die maximale Rate, mit der Information zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden kann, gemessen in Bit pro Kanalnutzung.

Diskreter speicherfreier Kanal (DMC)

• In einem DMC wird der Kanal durch Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$ definiert, wobei $x$ das Eingangssymbol und $y$ das Ausgangssymbol ist.
• Der Kanal ist speicherfrei, d.h. der aktuelle Ausgang hängt nur vom aktuellen Eingang ab.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität $C$ eines DMC ist gegeben durch:

  • $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$

  • $I(X; Y)$ ist die wechselseitige Information zwischen dem Eingang $X$ und dem Ausgang $Y$.

  • $p(x)$ ist die Eingangswahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• $C \geq 0$: Die Kanalkapazität ist nicht-negativ.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: Die Kanalkapazität ist durch die Größe des Eingangs- und Ausgangsalphabets begrenzt.

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier binärer Kanal

• Gibt eine Kanalmatrix an, bei der der Ausgang immer gleich dem Eingang ist: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Die Kanalkapazität beträgt $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit nicht-überlappenden Ausgängen

• Gibt eine Kanalmatrix an, bei der der Ausgang eine deterministische Funktion des Eingangs ist, aber nicht unbedingt gleich: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Die Kanalkapazität beträgt $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Fernschreiber

• Für ein Alphabet der Größe $|X| = a$, wird jeder Eingang auf sich selbst und den nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit abgebildet:
  • $C = \log a - 1$

Binärer symmetrischer Kanal (BSC)

• Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit $p$, wobei ein Bit mit Wahrscheinlichkeit $p$ während der Übertragung umgedreht wird.
  • $C = 1 - H(p)$, wobei $H(p)$ die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Löschkanal (BEC)

• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder mit Wahrscheinlichkeit $1 - \alpha$ korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird.
  • $C = 1 - \alpha$

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert, besagt, dass für eine reibungsfreie Strömung eine Zunahme der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Flügelfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen niedrigeren Druck oben.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächenprofil Design

• Spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Niedrigerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

• $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

  • $V$ ist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids
  • $g$ ist die Erdbeschleunigung
  • $z$ ist die Höhe
  • $p$ ist Druck
  • $\rho$ ist die Dichte

Zusammenfassung

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment)-Risikobewertung des Systems zusammen.

Wichtige Erkenntnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Anmeldeinformationen.
• Malware: Schadsoftware, die die Integrität des Systems gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung von Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlen von Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standard Kennwörter und lockere Zugangsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Potentielle Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung von sensiblen Informationen.
• Dienstunterbrechung: Systemausfall, der den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsmitigation

• Implementieren Sie Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Nutzen Sie Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachen und filtern Sie den Netzwerkverkehr, um Anomalien zu erkennen.

Schließen von Schwachstellen

• Aktualisieren Sie regelmäßig die Software und wenden Sie Sicherheitspatches an.
• Verschärfen Sie die Passwortrichtlinien und die Zugangskontrolle.
• Segmentieren Sie das Netzwerk, um die laterale Bewegung zu begrenzen.

Nächste Schritte

• Führen Sie Penetrationstests durch, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwickeln Sie einen Vorfallreaktionsplan, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu mildern.
• Schulen Sie das Personal in IT-Sicherheit und Gefahrenabwehr.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat es ermöglicht, signifikante Risiken zu identifizieren, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist entscheidend, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte des Unternehmens zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert. Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus literalen Zeichen und Metazeichen.

Metazeichen

• Steuern die Art und Weise, wie die literalen Zeichen interpretiert werden.

Zeichenklassen

• Definiert eine Menge von Zeichen.

Quantoren

• Geben an, wie oft ein vorhergehendes Zeichen oder eine Gruppe vorkommen darf.

Beispiele

• Reguläre Ausdrücke zur Mustersuche.

Verwendung

• In vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.

Hilfsmittel

• Online-Tools zum Testen und Debuggen von regulären Ausdrücken.

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein. Sorgfältiges Testen ist wichtig. Es gibt verschiedene Dialekte.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechte Dreiecke

• Gegeben ein rechtwinkliges Dreieck mit spitzem Winkel $\theta$:

  • Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekant (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachtet man einen Einheitskreis (Radius = 1) mit Zentrum Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkelsummen- und -differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkel-Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$)

• $y = \sin^{-1} x$ genau dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Inverser Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$)

• $y = \cos^{-1} x$ genau dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.

Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$)

• $y = \tan^{-1} x$ genau dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c:
  • $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$