Matrizen erklärt

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen, wobei diese Zahlen als Elemente der Matrix bezeichnet werden.
• Sie wird typischerweise durch einen Großbuchstaben dargestellt, wobei die Elemente mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes notiert werden, die Zeile und Spalte angeben.
• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt; eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine m x n Matrix.

Beispiele für Matrizen

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

• $a_{23}$ ist das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Operationen

Addition

• Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben.
• Die Addition erfolgt elementweise, d.h. die entsprechenden Elemente werden addiert.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise, d.h. jedes Element der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn A eine m x n Matrix und B eine n x p Matrix ist, dann ist das Produkt C = AB eine m x p Matrix.

Eigenschaften

• Assoziativität: (AB)C = A(BC)
• Distributivität: A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC
• Nichtkommutativität: Im Allgemeinen ist AB ≠ BA

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix A, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten erhalten.
• Wenn A eine m x n Matrix ist, dann ist $A^T$ eine n x m Matrix, wobei $(a^T){ij} = a{ji}$.

Eigenschaften der Transposition

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(A^T)^T = A$

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix, bezeichnet als I, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen anderswo. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix A gilt: AI = IA = A.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix A, bezeichnet als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet, andernfalls als singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Sie wird als det(A) oder |A| notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

Matrix 2x2

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ det$(A) = ad - bc$

Matrix 3x3

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$ det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix A, bezeichnet als Com(A), ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von A sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von A entsteht.

Eigenschaft

• $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.
• Das System kann in Matrixform als Ax = b geschrieben werden, wobei A die Koeffizientenmatrix, x der Vektor der Variablen und b der Vektor der Konstanten ist.
• Wenn A invertierbar ist, ist die Lösung des Systems x = $A^{-1}b$.

Kanal Kapazität

• Die Kanal Kapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.
• Für einen diskreten speicherlosen Kanal (DMC) wird die Kanal Kapazität durch die Übergangswahrscheinlichkeiten P(y|x) definiert und berechnet als: $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$, wobei I(X; Y) die wechselseitige Information zwischen Ein- (X) und Ausgabe (Y) und p(x) die Eingabewahrscheinlichkeitsverteilung ist.
• Die Kanal Kapazität ist nichtnegativ ($C \geq 0$) und ist durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt ($C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$).

Beispiele zur Berechnung der Kanal Kapazität

• **Rauschfreier Binärkanal:**Die Kanal Kapazität ist C = 1 Bit pro Kanalnutzung.

• Rauschfreier Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen: Die Kanal Kapazität ist C = 1 Bit pro Kanalnutzung.

• Rauschfreier Kanal mit Alphabet der Größe |X| = a. Jeder Eingabewert wird sich selbst und dem nächsten Buchstaben mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zugeordnet: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Kanal Kapazität ist (C = \log a - 1).

• Binärer symmetrischer Kanal (BSC): Die Kanal Kapazität ist C = 1 - H(p), wobei H(p) die binäre Entropiefunktion ist.

• Binärer Löschkanal (BEC): Die Kanal Kapazität ist C = 1 - α, wobei α die Löschwahrscheinlichkeit ist.

Bernoulli'sches Prinzip

• Das Bernoulli'sche Prinzip, von Daniel Bernoulli entdeckt, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit eines Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie des Fluids einhergeht.
• Dies erklärt, wie Flügel Auftrieb erzeugen indem die Luft schneller über die Flügeloberfläche strömt als darunter, was zu einem niedrigeren Druck oben und einem höheren Druck unten führt.
• Tragflächen haben eine spezielle Form, um den Auftrieb zu maximieren.
• Der Druck ist oben niedriger.
• Der Druck ist am Boden höher.

Gleichung

• $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{konstant}$
• $V$ :Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit.
• $g$ :Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft.
• $z$ :Höhe.
• $p$ :Druck.
• $\rho$ :Dichte.

Exerzitivübersicht

• Dient als Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment)-Bewertung.
• Identifizierte Kernbedrohungen:Phishing, Malware, DDoS-Angriffe.
• Gefundene Schwachstellen:Veraltete Software, schwache Konfigurationen, fehlende Netzwerksegmentierung.
• Potentielle Auswirkungen umfassen beispielsweise Datenverlust, Dienstunterbrechung und Rufschädigung.

Empfehlungen

• Bedrohungen sollten mithilfe der Implementierung eines Multi-Faktor-Authentifizierungssystems (MFA) gemildert werden.
• Verwenden Sie Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachen und filtern Sie den Netzwerkverkehr, um Anomalien zu erkennen.
• Empfehlungen zur Schließung von Sicherheitslücken.
• Aktualisieren Sie Software regelmäßig und wenden Sie Sicherheitspatches an.
• Verschärfen Sie die Passwortrichtlinien und die Zugriffskontrolle.
• Segmentieren Sie das Netzwerk, um die seitliche Bewegung einzuschränken.

Reguläre Ausdrücke

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster (Suchalgorithmus) definiert und zum Durchsuchen, Bearbeiten oder Manipulieren von Zeichenketten verwendet wird.
• Reguläre Ausdrücke bestehen aus literalen Zeichen und Metazeichen.
• Metazeichen sind z. B. .`` , *, +, ?, [], (), |, ^ und $.
• Zeichendklassen sind beispielsweise \d, \D, \w, \W, \s und \S.
• Die häufigsten Quantoren sind: {n}, {n,} und {n,m}.
• Beispiele für reguläre Ausdrücke sind: a.c, a*, a+, a?, [abc], [a-z], [0-9], ^abc$ und \d{3}-\d{2}-\d{4}.
• Damit können viele Programmiersprachen und Texteditoren verwendet werden.
• Kann zum Suchen und Ersetzen von Text, Validieren von Daten, Extrahieren von Text, zum Analysieren von Text usw. verwendet werden.
• Beliebte Online-Tools zum Testen und Debuggen regulärer Ausdrücke sind z. B. Regex101 und RegExr.

Trigonometrische Funktionen

• Sinus ($\sin \theta$) = Gegenüberliegende / Hypotenuse
• Kosinus ($\cos \theta$) = Anliegende / Hypotenuse
• Tangens ($\tan \theta$) = Gegenüberliegende / Anliegende
• Kosekans (csc $\theta$) = Hypotenuse / Gegenüberliegende
• Sekans (sec $\theta$) = Hypotenuse / Anliegende
• Kotangens (cot $\theta$) = Anliegende / Gegenüberliegende

Werte

Graphen

• Sinusfunktion (y = sin x): Periode 2π, Amplitude 1, Definitionsbereich (-∞, ∞), Wertebereich [-1, 1]
• Kosinusfunktion (y = cos x): Periode 2π, Amplitude 1, Definitionsbereich (-∞, ∞), Wertebereich [-1, 1]
• Tangengfunktion (y = tan x): Periode π, Definitionsbereich (x ≠ π/2 + nπ), Wertebereich (-∞, ∞), vertikale Asymptoten bei x = π/2 + nπ | | \ |

Trigonometrische Identitäten

• Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

• Additionstheoreme

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$

• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

• Doppelte Winkel

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

• Halbe Winkel

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$\

• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$\

• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

• Arkussinus (arcsin oder $\sin^{-1}$):$y = \sin^{-1} x$, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ and $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

• Arcuscosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):$y = \cos^{-1} x$, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ and $0 \leq y \leq \pi$.

• Arcustangens (arctan oder $\tan^{-1}$):$y = \tan^{-1} x$, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ and $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Trigonometrische Gesetze

• Sinussatz: In jedem Dreieck gilt $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
• Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$