Matrizen: Einführung und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen.
• Die Zahlen innerhalb der Matrix werden Elemente genannt.

Beispielmatrix

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden durch Großbuchstaben dargestellt.
• Die Elemente werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes bezeichnet: Zeile und Spalte.
• $a_{23}$ ist beispielsweise das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Nur Matrizen mit derselben Dimension können addiert werden.
• Addition erfolgt elementweise.
• Für $m \times n$ Matrizen $A$ und $B$ ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, wobei $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Matrizen können mit einem Skalar (Zahl) multipliziert werden.
• Multiplikation erfolgt elementweise.
• Für eine $m \times n$ Matrix $A$ und einen Skalar $k$ ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, wobei $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.
• Für eine $m \times n$ Matrix $A$ und eine $n \times p$ Matrix $B$ ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, wobei $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• $$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität bezüglich Addition

• $$A(B + C) = AB + AC$$
• $$(A + B)C = AC + BC$$

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt: $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erhalten.
• Für eine $m \times n$ Matrix $A$ ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, wobei $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften der Transponierung

• $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
• $$(kA)^T = kA^T$$
• $$(AB)^T = B^T A^T$$
• $$(A^T)^T = A$$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen anderswo.

Beispiel

$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, erfüllt die Bedingung $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet.
• Eine Matrix ohne Inverse wird als singulär bezeichnet.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

• det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$

• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Eigenschaft

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Allgemeines lineares Gleichungssystem:

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: $Ax = b$, wobei:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$

$$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn $A$ invertierbar ist, ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Lektion 18: Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Datenrate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können. Sie wird in Bit pro Kanalbenutzung gemessen.
• Diskreter, speicherloser Kanal (DMC):
  • Ein DMC wird durch Übergangswahrscheinlichkeiten (P(y|x)) definiert.
  • (x) ist das Eingangszeichen, (y) ist das Ausgangszeichen.
  • Zustände des Channels abhängig sind.
• Kanalkapazität eines DMC:
  • (C = \max_{p(x)} I(X; Y))
  • (I(X; Y)) ist die gegenseitige Information zwischen Eingang (X) und Ausgang (Y).
  • (p(x)) ist die Eingangsverteilung.
• Eigenschaften der Kanalkapazität:
  • (C \geq 0) (nicht negativ)
  • (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)) (begrenzt durch Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete)
• Beispiele:
  • Rauschfreier binärer Kanal: (C = 1) Bit pro Kanalbenutzung
  • Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen: (C = 1) Bit pro Kanalbenutzung
  • Verrauschter Fernschreiber: (C = \log a - 1)
  • Binärer symmetrischer Kanal (BSC): (C = 1 - H(p))
  • Binärer Auslöschungskanal (BEC): (C = 1 - \alpha)
    • Alpha ((\alpha)) ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit.

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert, besagt, dass für eine reibungsfreie Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Luft strömt schneller über die Flügeloberfläche als darunter.
• Höhere Geschwindigkeit erzeugt niedrigeren Druck oben.
• Druckunterschied erzeugt Auftrieb.
• Tragflächenprofil (Airfoil): spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs; abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Niedrigerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{konstant}$

• V ist Strömungsgeschwindigkeit
• g ist Erdbeschleunigung
• z ist Höhe
• p ist Druck
• Rho ((\rho)) ist Dichte

Zusammenfassung der PSRA-Risikobewertung (Executive Summary)

• Einleitung:*
• Der Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der vorläufigen Systemrisikobewertung (PSRA) zusammen.
• Hauptbefunde:*
• Identifizierte Bedrohungen:*
  • Phishing: Social-Engineering-Angriffe zum Erbeuten von Anmeldedaten.
  • Malware: Schadhafte Software, die die Systemintegrität gefährdet.
  • DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung der Ressourcen.
• Entdeckte Schwachstellen:*
  • Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
  • Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und nachlässige Zugriffsrichtlinien.
  • Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Einbruchs.
• Mögliche Auswirkungen:*
  • Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
  • Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
  • Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Benutzern und Kunden.
• Empfehlungen:*
• Bedrohungsabwehr:*
  • Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
  • Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
  • Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.
• Schließen von Schwachstellen:*
  • Regelmäßige Aktualisierung der Software und Installation von Sicherheitspatches.
  • Verstärkte Passwortrichtlinien und Zugriffskontrolle.
  • Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung lateraler Bewegung.
• Nächste Schritte:*
  • Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit von Sicherheitsmaßnahmen.
  • Entwicklung eines Notfallplans zur Milderung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
  • Schulung der Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.
• Schlussfolgerung:*
• Die PSRA-Bewertung ergab erhebliche Risiken, die die Sicherheit des Systems gefährden könnten.
• Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte des Unternehmens zu schützen.

Reguläre Ausdrücke (Regular Expressions)

• Definition:*
• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die ein Suchmuster definiert, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.
• Syntax:*
• Literale Zeichen:* z.B. "a", "b", "c", "1", "2", "3"
• Metazeichen:* spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, wie ".", "*", "+", "?", "[]", "()", "|", "^", "$"
• Metazeichen Tabelle:*

• Zeichenklassen Tabelle:*

• Quantoren Tabelle:*

• Beispiele:*
• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa", usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"
• Verwendung:*
• Text suchen und ersetzen.
• Daten validieren.
• Text extrahieren.
• Text parsen.
• Werkzeuge:*
• Regex101: https://regex101.com/
• RegExr: https://regexr.com/
• Hinweise:*
• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Sorgfältiges Testen ist wichtig, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.
• Es gibt unterschiedliche Dialekte regulärer Ausdrücke mit variierender Syntax.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel ( \theta ):
  • Sinus: $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus: $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens: $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Kosekans: $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans: $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens: $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Einheitskreis

• Betrachtet man den Einheitskreis (Radius = 1) im Ursprung:
  • Ein Winkel ( \theta ) wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen.
  • Der Punkt, in dem schneidet sich der Endpunkt von ( \theta ) mit dem Einheitskreis, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
  • $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Grundlegende Werte

Grafiken trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

• (y = \sin x)
  • Periode: (2\pi)
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: ((-\infty, \infty))
  • Wertebereich: ([-1, 1])

Kosinusfunktion

• (y = \cos x)
  • Periode: (2\pi)
  • Amplitude: 1
  • Definitionsbereich: ((-\infty, \infty))
  • Wertebereich: ([-1, 1])

Tangensfunktion

• (y = \tan x)
  • Periode: ( \pi )
  • Definitionsbereich: ( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi ), wobei n eine ganze Zahl ist.
  • Wertebereich: ((-\infty, \infty))
  • Vertikale Asymptoten: ( x = \frac{\pi}{2} + n\pi )

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel Summen- und Differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkelidentitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

Inverser Sinus (arcsin or ( \sin^{-1} ))

• (y = \sin^{-1} x) nur dann, wenn ( \sin y = x ), wobei ( -1 \leq x \leq 1 ) und ( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} ).

Inverser Kosinus (arccos or ( \cos^{-1} ))

• (y = \cos^{-1} x) nur dann, wenn ( \cos y = x ), wobei ( -1 \leq x \leq 1 ) und ( 0 \leq y \leq \pi ).

Inverser Tangens (arctan or ( \tan^{-1} ))

• (y = \tan^{-1} x) nur dann, wenn ( \tan y = x ), wobei ( -\infty < x < \infty ) und ( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} ).

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$