Matrizen: Einführung und Grundlagen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen.
• Die Zahlen in der Matrix werden Elemente genannt.

Beispiel

• Eine Beispielmatrix wird als A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] dargestellt.

Notation

• Matrizen werden typischerweise durch Großbuchstaben dargestellt.
• Die Elemente einer Matrix werden durch den entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes gekennzeichnet, die Zeile und Spalte angeben; z.B. ist a_23 das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten definiert; eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine m x n Matrix.

Operationen

• Nur Matrizen gleicher Dimension können addiert werden.

Addition

• Die Addition wird elementweise durchgeführt; wenn A und B zwei m x n Matrizen sind, dann ist C = A + B eine m x n Matrix, so dass c_ij = a_ij + b_ij für alle i, j gilt.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert werden; diese Multiplikation wird elementweise durchgeführt.
• Multiplizieren wir eine m x n Matrix A mit einem Skalar k, so ist B = kA eine m x n Matrix, so dass b_ij = ka_ij für alle i, j gilt.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Multipliziert man eine m x n Matrix A mit einer n x p Matrix B, so ist C = AB eine m x p Matrix, so dass c_ij = Summe von k=1 bis n (a_ik * b_kj) für alle i, j gilt.

Eigenschaften

Assoziativität

• (AB)C = A(BC)

Distributivität bzgl. der Addition

• A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt AB ≠ BA.

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix A (A^T) wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten von A erhalten.
• Ist A eine m x n Matrix, dann ist A^T eine n x m Matrix, so dass (A^T)_ij = a_ji für alle i, j gilt.

Eigenschaften der Transposition

Addition

• (A + B)^T = A^T + B^T

Multiplikation mit einem Skalar

• (kA)^T = kA^T

Produkt von Matrizen

• (AB)^T = B^T A^T

Transponierte der Transponierten

• (A^T)^T = A

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix (I) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen anderswo. Ihr Produkt mit jeder anderen Matrix A ist A selbst, d. h. AI = IA = A.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix A (A^-1) ist eine Matrix, so dass AA^-1 = A^-1A = I gilt.
• Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.

Regularität

• Eine invertierbare Matrix wird als regulär bezeichnet, eine nicht-invertierbare Matrix als singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus ihren Elementen berechnet werden kann, sie wird als det(A) oder |A| bezeichnet.

Eigenschaften der Determinante

Transponierte

• det(A^T) = det(A)

Produkt

• det(AB) = det(A)det(B)

Inverse

• det(A^-1) = 1/det(A)

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

• Für A=[a b; c d] gilt det(A) = ad - bc.

3x3 Matrix

• Für A=[a b c; d e f; g h i] gilt det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.

Kofaktorenmatrix

• Die Kofaktorenmatrix Com(A) enthält die Kofaktoren der Elemente von A, wobei der Kofaktor c_ij eines Elements a_ij durch c_ij = (-1)^(i+j) * M_ij definiert ist, wobei M_ij die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und i-ten Spalte von A erhalten wird.

Beziehung zwischen Inverser und Kofaktorenmatrix

• A^-1 = (1/det(A)) * Com(A)^T.

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Lineares Gleichungssystem

• Das System a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1, a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2,..., a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + amnxn = bm kann als Ax = b geschrieben werden, wobei A, x, und b wie beschrieben definiert sind.
• Ist A invertierbar, so ist die Lösung des Systems gegeben durch x = A^-1 b.

Kanal Kapazität

• Die Kanal Kapazität, bezeichnet mit C, ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, einem Sender, einem Kanal, einem Empfänger und einer Zielgruppe.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• In einem DMC wird der Kanal durch Übergangswahrscheinlichkeiten P(y|x) definiert, wobei x das Eingangssymbol und y das Ausgangssymbol ist.

Definition der Kanal Kapazität

• Die Kanal Kapazität C eines DMC ist gegeben durch C = max_p(x) I(X; Y), wobei I(X; Y) die Mutual Information zwischen dem Eingang X und dem Ausgang Y ist und p(x) die Eingangsverteilungswahrscheinlichkeit ist.

Eigenschaften

• Kanal Kapazität ist nicht negativ (C ≥ 0).
• Kanal Kapazität ist begrenzt durch die Größe des Eingangs- und Ausgangsalphabets (C ≤ min(log |X|, log |Y|)).

Beispiele für die Kanal Kapazität

• Rauschloser Binärkanal: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Verrauschter Kanal ohne überlappende Ausgänge: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Verrauschter Fernschreiber: Für ein Alphabet der Größe |X| = a, ist C = log a - 1.
• Binär symmetrischer Kanal (BSC): C = 1 - H(p), wobei H(p) die binäre Entropiefunktion ist.
• Binärer Löschungskanal (BEC): C = 1 - α, wobei α die Löschungswahrscheinlichkeit ist.

Bernoulli'sches Prinzip

• Das Bernoulli'sche Prinzip besagt, dass bei einer inkompressiblen Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie der Flüssigkeit einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Flügeloberfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck darüber.
• Durch den Druckunterschied entsteht Auftrieb.

Tragflügeldesign

• Spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Unterdruck oben.
• Höherer Druck auf der Unterseite.

Bernoulli-Gleichung

• Die Formel lautet: V^2/2 + gz + p/ρ = konstanzt
  • V ist hierbei die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids, g die Erdbeschleunigung, z die Höhe, p der Druck und ρ die Dichte ist.

Executive Summary

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der vorläufigen Systemrisikobewertung (PSRA) des Systems zusammen.

Wichtigste Erkenntnisse

• Phishing-Angriffe, um Anmeldedaten zu erhalten
• Schadsoftware, die die Integrität des Systems gefährdet
• DDoS-Angriffe sind gekennzeichnet durch beeinträchtigte Service durch Ressourcenübersättigung.
• Es besteht auch Software, die veraltet ist: Dies betrifft insbesondere mangelhafte Sicherheitspatches.
• Es bestehen schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugriffsrichtlinien
• Es existiert keine Netzwerksegmentierung: Laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Potentielle Auswirkung

• Datenverlust, Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Serviceunterbrechung, Systemausfall, der sich auf den Betrieb auswirkt.
• Reputationsschaden, Vertrauensverlust bei Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

• Bedrohungsreduzierung durch die Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs, um Anomalien zu erkennen.
• Schwachstellenbereinigung durch regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und Zugriffskontrolle.
• Netzwerksegmentierung zur Begrenzung der lateralen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Reaktionsplans für Vorfälle, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu minimieren.
• Schulung der Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Bedrohungsbewusstsein.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat erhebliche Risiken identifiziert, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte des Unternehmens zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.

Verwendung

• Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus literalen Zeichen und Metazeichen.

Metazeichen

• Verschiedene Metazeichen (Punkt, Stern, Plus, Fragezeichen, Klammern, Pipe, Caret, Dollar) haben eine spezielle Bedeutung.
• Der Punkt passt auf jedes einzelne Zeichen außer einem Zeilenumbruch.
• Der Stern passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder mehrere Male.
• Das Plus passt auf das vorhergehende Zeichen 1 oder mehrere Male.
• Das Fragezeichen passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder 1 Mal.
• Quadratische Klammern definieren eine Zeichenklasse.
• Runde Klammern gruppieren Ausdrücke.
• Der senkrechte Strich ist eine Oder-Verknüpfung.
• Das Caret passt auf den Anfang einer Zeichenkette.
• Das Dollarzeichen passt auf das Ende einer Zeichenkette.

Verschiedene Zeichenklassen existieren

• Die Klasse d passt auf eine Ziffer (0-9).
• Die Klasse D passt auf ein Zeichen, das keine Ziffer ist.
• Die Klasse w passt auf ein "Wortzeichen" (Buchstaben, Ziffern und Unterstrich).
• Die Klasse W passt auf ein Zeichen, das kein "Wortzeichen" ist.
• Die Klasse s passt auf ein Whitespace-Zeichen.
• Die Klasse S passt auf ein Zeichen, das kein Whitespace-Zeichen ist.

Quantoren

• Quantoren (n, n, n,m) geben an, wie oft das vorhergehende Zeichen auftreten soll.
• n passt genau auf n Mal das vorhergehende Zeichen.
• n, passt auf das vorhergehende Zeichen n-mal oder öfter.
• n,m passt auf das vorhergehende Zeichen mindestens n und höchstens m Mal.

Beispiele

• Verschiedene Beispiele wurden demonstriert.
• abc: Passt auf "abc", "adc", "aec" usw.
• a*: Passt auf "" (kein Zeichen), oder "a", "aa", "aaa" usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa" usw. (aber nicht auf "").
• a?: Passt auf "" oder "a".
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c".
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben.
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer.
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc".
• d{3}-d{2}-d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX".

Praktiken

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Beispiele ihrer Verwendung sind Suchen und Ersetzen von Text, Validierung von Daten, Extrahieren von Text und Parsen von Text.

Werkzeuge

• Es gibt viele Online-Tools zum Testen und Debuggen von regulären Ausdrücken.

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Sie sollten sorgfältig getestet werden, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte, deren Syntax sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden kann.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Für ein rechtwinkliges Dreieck mit spitzem Winkel θ:
• Sinus (sin): sin θ = Gegenkathete/Hypotenuse
• Kosinus (cos): cos θ = Ankathete/Hypotenuse
• Tangens (tan): tan θ = Gegenkathete/Ankathete
• Kehrwertverhältnisse beziehen sich auf Cosekans (csc), Sekans (sec) und Kotangens (cot).

Der Einheitskreis

• Betrachtet man einen um den Ursprung zentrierten Einheitskreis (Radius = 1).
• Ein Winkel θ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von θ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten (cos θ, sin θ).
• tan θ = sin θ/cos θ.

Schlüsselwerte

Graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion

• y = sin x; periode: 2π.
• Amplitude: 1, Definitionsbereich: (-∞, ∞), Wertebereich: [-1, 1]

Kosinusfunktion

• y = cos x; Periode: 2π.
• Amplitude: 1, Definitionsbereich: (-∞, ∞), Wertebereich: [-1, 1]

Tangensfunktion

• y = tan x; Periode: π.
• Definitionsbereich: x ≠ π/2 + nπ, wobei n eine ganze Zahl ist, Wertebereich: (-∞, ∞).

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• sin^2 θ + cos^2 θ = 1
• 1 + tan^2 θ = sec^2 θ
• 1 + cot^2 θ = csc^2 θ

Winkel Summen- und Differenzidentitäten

• sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
• cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
• tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

Doppelwinkelidentitäten

• sin(2θ) = 2sin θ cos θ
• cos(2θ) = cos^2 θ - sin^2 θ = 2cos^2 θ - 1 = 1 - 2sin^2 θ
• tan(2θ) = 2tan θ / (1 - tan^2 θ)

Halbwinkelidentitäten

• sin(θ/2) = ± √((1 - cos θ) / 2)
• cos(θ/2) = ± √((1 + cos θ) / 2)
• tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

Inverse trigonometrische Funktionen

Verschiedene inverse trigonometrische Funktionen

• Umkehrfunktionen (arcsin oder sin^-1), (arccos oder cos^-1) und (arctan oder tan^-1) werden beschrieben.

Gesetze

• Verschiedene trigonometrische Gesetze (Sin, Kosinus) werden angegeben.

Sinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c und den diesen Seiten gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt: a/sin A = b/sin B = c/sin C.

Kosinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem der Seite c gegenüberliegenden Winkel C gilt: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C.