Matrizen: Einführung und Grundlagen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen, die als Elemente der Matrix bezeichnet werden.

Beispiel

• Beispiel einer Matrix: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente der Matrix werden durch den entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes notiert: Der erste Index gibt die Zeile und der zweite die Spalte an.
• Zum Beispiel ist $a_{23}$ das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen und Spalten.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Es können nur Matrizen mit der gleichen Dimension addiert werden.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ und $B$ zwei $m \times n$ Matrizen sind, dann ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, so dass $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• $$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität in Bezug auf die Addition

• $$A(B + C) = AB + AC$$
• $$(A + B)C = AC + BC$$

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen gilt $AB \neq BA$.

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix $A$, geschrieben als $A^T$, ist die Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erhalten wird.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, so dass $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

• $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
• $$(kA)^T = kA^T$$
• $$(AB)^T = B^T A^T$$
• $$(A^T)^T = A$$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, geschrieben als $I$, ist eine quadratische Matrix mit 1 auf der Diagonalen und 0 anderswo.
• $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix $A$, geschrieben als $A^{-1}$, ist die Matrix, so dass $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.
• Eine Matrix, die eine Inverse hat, heißt invertierbar oder regulär.
• Eine Matrix, die keine Inverse hat, wird als singulär bezeichnet.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

Matrix 2x2

• $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$
• det$(A) = ad - bc$

Matrix 3x3

• $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$
• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, geschrieben als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Eigenschaft

• $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$
• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: $Ax = b$, wobei: $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$ $$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$ $$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$
• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Vorlesung 18: Kanalkapazität

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, einem Sender, einem Kanal, einem Empfänger und einem Ziel.
• Die Informationsquelle generiert die zu sendende Nachricht.
• Der Sender wandelt das Nachrichtensignal in eine geeignete Form für die Übertragung über den Kanal um.
• Der Kanal ist das physikalische Medium, durch das sich das Signal bewegt.
• Der Empfänger rekonstruiert die ursprüngliche Nachricht aus dem empfangenen Signal.
• Das Ziel ist der beabsichtigte Empfänger der Nachricht.

Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität, bezeichnet mit $C$, ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Sie wird in Bits pro Kanalnutzung gemessen.

Diskreter gedächtnisloser Kanal (DMC)

• In einem DMC ist der Kanal durch eine Menge von Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$ definiert, wobei $x$ das Eingangssymbol und $y$ das Ausgangssymbol ist.
• Der Kanal ist gedächtnislos, was bedeutet, dass der aktuelle Ausgang nur vom aktuellen Eingang und nicht von den vorherigen Eingängen oder Ausgängen abhängt.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität $C$ eines DMC wird gegeben durch: $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$
  • $I(X; Y)$ ist die wechselseitige Information zwischen dem Eingang $X$ und dem Ausgang $Y$.
  • $p(x)$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Eingangs.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• $C \geq 0$: Die Kanalkapazität ist nicht negativ.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: Die Kanalkapazität ist durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt.

Beispiele für die Berechnung der Kanalkapazität

• 1. Rauschfreier binärer Kanal:*
• Gegeben sei eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang immer gleich dem Eingang ist: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Die Kanalkapazität ist $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.
• 2. Rauschiger Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen:*
• Gegeben sei eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang eine deterministische Funktion des Eingangs ist, aber nicht unbedingt gleich: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Die Kanalkapazität ist $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.
• 3. Rauschige Schreibmaschine:*
• Für ein Alphabet der Größe $|X| = a$ wird jeder Eingang sich selbst und dem nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
• $C = \log a - 1$
• 4. Binärer symmetrischer Kanal (BSC)*
• Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit $p$, wobei ein Bit während der Übertragung mit Wahrscheinlichkeit $p$ umgekehrt wird.
• $C = 1 - H(p)$, wobei $H(p)$ die binäre Entropiefunktion ist.
• 5. Binärer Löschkanal (BEC):*
• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder mit Wahrscheinlichkeit $1 - \alpha$ korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ gelöscht wird.
• $C = 1 - \alpha$
• Diese Beispiele veranschaulichen, wie die Kanalkapazität für verschiedene Arten von Kanälen berechnet wird und wie sie von den Kanaleigenschaften und der Eingangsverteilung abhängt.

Bernoulli'sches Prinzip

• Das Bernoulli'sche Prinzip, das im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli entdeckt wurde, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids auftritt.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Luft strömt schneller über die Oberfläche des Tragflügels als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck darüber.
• Auftrieb wird aufgrund des Druckunterschieds erzeugt.

Tragflächenprofil Design

• Spezialisierte Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Unterer Druck auf der Oberseite.
• Höherer Druck auf der Unterseite.

Gleichung

• $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$
  • $V$ ist die Fluidströmungsgeschwindigkeit.
  • $g$ ist die Erdbeschleunigung.
  • $z$ ist die Höhe.
  • $p$ ist der Druck.
  • $\rho$ ist die Dichte.

Executive Summary

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment) zur Risikobewertung des Systems zusammen.

Wichtige Ergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Zugangsdaten.
• Malware: Schädliche Software, die die Integrität des Systems beeinträchtigt.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung der Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugangsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Potenzielle Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsreduzierung

• Implementierung einer Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Beseitigung von Schwachstellen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Installation von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugangskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung der lateralen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Incident-Response-Plans zur Minimierung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung des Personals in Bezug auf IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA-Bewertung hat die Identifizierung bedeutender Risiken ermöglicht, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus:
  • Literalen Zeichen: z.B. a, b, c, 1, 2, 3
  • Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. ., *, +, ?, [], (), |, ^, $

Meta-Zeichen

Zeichenklassen

Quantoren

Beispiele

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa", usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Sie können verwendet werden, um:
  • Text zu suchen und zu ersetzen
  • Daten zu validieren
  • Text zu extrahieren
  • zum Parsen von Text

Werkzeuge

• Es gibt viele Online-Tools, um reguläre Ausdrücke zu testen und zu debuggen, z. B.:
  • Regex101: https://regex101.com/
  • RegExr: https://regexr.com/

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Es ist wichtig, reguläre Ausdrücke sorgfältig zu testen, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken.
• Die Syntax kann sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel $\theta$:
  • Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Cosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Cosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekant (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachte einen Einheitskreis (Radius = 1), der im Ursprung zentriert ist.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Terminalseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen der trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Range: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Identitäten zur Winkeladdition und -subtraktion

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkel-Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkel-Identitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$):
  • $y = \sin^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Inverser Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):
  • $y = \cos^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.
• Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$):
  • $y = \tan^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln A, B, C, die diesen Seiten gegenüberliegen:
• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkel C gegenüber Seite c:
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$