Matrizen: Einführung in die lineare Algebra

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen.
• Die Zahlen innerhalb einer Matrix werden Elemente genannt.

Beispiel

• Hier ist ein Beispiel für eine Matrix:

  $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden im Allgemeinen mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Elemente einer Matrix werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes notiert: Zeile und Spalte.
• Das Element $a_{23}$ befindet sich in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ und $B$ zwei $m \times n$ Matrizen sind, dann ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, bei der $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden.
• Diese Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, bei der $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, bei der $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften

Assoziativität

• Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ, d.h. $(AB)C = A(BC)$

Distributivität bezüglich der Addition

• Die Multiplikation von Matrizen ist distributiv bezüglich der Addition: $A(B + C) = AB + AC$ und $(A + B)C = AC + BC$

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt für die Multiplikation von Matrizen $AB \neq BA$.

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix $A$, geschrieben als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erhalten.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, bei der $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften der Transponierten

• Die Transponierte einer Summe ist die Summe der Transponierten: $(A + B)^T = A^T + B^T$
• Die Transponierte des Produkts eines Skalars mit einer Matrix: $(kA)^T = kA^T$
• Die Transponierte eines Produkts: $(AB)^T = B^T A^T$
• Die Transponierte der Transponierten: $(A^T)^T = A$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet mit $I$, ist eine quadratische Matrix mit 1 auf der Hauptdiagonale und 0 überall sonst.

• Beispiel einer Identitätsmatrix:

  $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$

Inverse

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet mit $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix, die eine Inverse hat, wird als invertierbar oder regulär bezeichnet. Andernfalls ist sie singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

• Für die Matrix

  $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$

• ist die Determinante det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

• Für die Matrix

  $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$

• ist die Determinante det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktorenmatrix (Comatrix)

• Die Kofaktorenmatrix einer Matrix $A$, notiert als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Eigenschaft

• Die Inverse einer Matrix kann mit der Kofaktorenmatrix berechnet werden: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet werden.

• Das lineare Gleichungssystem

  $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• kann in Matrixform als $Ax = b$ geschrieben werden, wobei

  $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$

  $$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$

  $$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn $A$ invertierbar ist, ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Lektion 18: Kanalkapazität

• Kanalkapazität (C) ist die maximale Datenrate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Vielzahl von Elementen.
• Informationsquelle: erzeugt Nachricht.
• Sender: Wandelt die Nachricht zur Kanalübertragung um.
• Kanal: physisches Übertragungsmedium.
• Empfänger: rekonstruiert die ursprüngliche Nachricht.
• Ziel: vorgesehener Empfänger.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• Ein DMC hat Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$, wobei $x$ ein Eingabe- und $y$ ein Ausgabesymbol ist.
• Der Kanal ist speicherlos (aktuelle Ausgabe hängt nur von der aktuellen Eingabe ab).

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität C wird so definiert:

  $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$

• (I(X; Y)) ist die Transinformation zwischen Eingabe und Ausgabe.

• (p(x)) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Eingabe.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• $C \geq 0$: Die Kanalkapazität ist nicht negativ.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: Die Kapazität wird durch die Größe der Ein- und Ausgabealphabete begrenzt.

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

1. Rauschfreier binärer Kanal:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Kanalkapazität ist $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

2. Rauschender Kanal mit nicht überlappenden Ausgaben:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Die Kapazität ist $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

3. Rauschende Schreibmaschine: Für ein (|X| = a) großes Alphabet wird jede Eingabe auf sich selbst und den nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit abgebildet:

$C = \log a - 1$ 4. Binär symmetrischer Kanal (BSC): - Ein binärer Kanal, der beim Übertragen ein Bit mit der Wahrscheinlichkeit (p) umkehrt.

$C = 1 - H(p)$ - (H(p)) ist die binäre Entropiefunktion. 5. Binärer Löschkanal (BEC): - Ein binärer Kanal, der ein Bit mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) korrekt überträgt oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) löscht.

$C = 1 - \alpha$

Bernoulli-Prinzip

• Daniel Bernoulli entdeckte im 18. Jahrhundert das Bernoulli-Prinzip.
• Für eine reibungslose Strömung führt eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit zu einer Verringerung des Drucks und der potentiellen Energie.
• Die Luft strömt schneller über eine Flügeloberfläche als darunter.
• Dadurch entsteht über dem Flügel weniger Druck.
• Der Druckunterschied erzeugt Auftrieb.

Flügelprofil

• Ein Flügelprofil hat eine spezialisierte Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Der Druck ist oben niedriger und unten höher.

Gleichung

• Die Bernoullische Gleichung lautet:

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• $V$: Strömungsgeschwindigkeit
• $g$: Erdbeschleunigung
• $z$: Höhe
• $p$: Druck
• $\rho$: Dichte

Exekutive Zusammenfassung

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA-Risikobewertung (Preliminary System Risk Assessment) des Systems zusammen.

Wichtigste Erkenntnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zum Erlangen von Anmeldeinformationen.
• Malware: Schadsoftware, die die Systemintegrität gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Überlastung der Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lockere Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Mögliche Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust der Benutzer und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsabwehr

• Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachen und Filtern des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Schließen von Schwachstellen

• Regelmäßiges Aktualisieren der Software und Anwenden von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks, um die laterale Bewegung einzuschränken.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Reaktionsplans auf Vorfälle, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu mindern.
• Schulung des Personals in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat bedeutende Risiken identifiziert, die die Systemsicherheit beeinträchtigen könnten.
• Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert zum Suchen, bearbeiten oder manipulieren von Zeichenketten.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus Literalzeichen und Metazeichen.

Metazeichen

|. passt auf jedes Zeichen außer Zeilenumbruch.

• \ passt auf vorhergehendes Zeichen 0 oder mehrmals. +\ passt auf vorhergehendes Zeichen 1 oder mehrmals. ?\ passt auf vorhergehendes Zeichen 0 oder 1 mal. [ ] definiert Zeichenklasse. (*)\ gruppiert Ausdrücke. |\ ODER Verknüpfung. ^ passt auf den Anfang einer Zeichenkette. $\ passt auf das Ende einer Zeichenkette.

Zeichenklassen

\d passt auf eine Ziffer (0-9). \D passt auf ein Zeichen außer einer Ziffer. \w passt auf ein "Wortzeichen" (Buchstaben, Zahlen und Unterstrich). \W passt auf ein nicht-Wortzeichen. \s passt auf ein Whitespace-Zeichen, z.B.Leerzeichen. \S passt auf ein Zeichen, das kein Whitespace-Zeichen ist.

Quantoren

{n} passt auf vorhergehendes Zeichen genau n mal. {n,} passt auf das vorhergehende Zeichen n oder mehrere Male. {n,m} passt auf das vorhergehende Zeichen zwischen n und m mal.

Beispiele

a.c passt auf "abc", "adc", "aec" usw.. a* passt auf "", "a", "aa", "aaa" usw. a+ passt auf "a", "aa", "aaa" usw. (aber nicht auf ""). a? passt auf "" oder "a". [abc] passt auf "a", "b" oder "c". [a-z] passt auf jeden Kleinbuchstaben. [0-9] passt auf jede Ziffer. ^abc$\ passt nur auf die Zeichenkette "abc". \d{3}-\d{2}-\d{4}\ passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX".

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt zum Suchen, Ersetzen, Validieren, Extrahieren oder Parsen von Text.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Man betrachtet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem spitzen Winkel $\theta$:
• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Man betrachtet einen Einheitskreis (Radius = 1) mit Mittelpunkt im Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Identitäten für Winkeladdition und -subtraktion

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkelidentitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

Arkussinus (arcsin oder $\sin^{-1}$)

• $y = \sin^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Arkuskosinus (arccos oder $\cos^{-1}$)

• $y = \cos^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.

Arkustangens (arctan oder $\tan^{-1}$)

• $y = \tan^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$