Matrizen: Einführung in die Grundlagen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in einem rechteckigen Schema.
• Die Zahlen in einer Matrix werden als Elemente bezeichnet.

Beispiel

• Beispiel einer 3x3-Matrix:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden im Allgemeinen mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente einer Matrix werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes bezeichnet, wobei der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte angibt.
• Zum Beispiel ist $a_{23}$ das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen und Spalten, die sie enthält.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Matrizen müssen die gleiche Dimension haben, um addiert zu werden.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ und $B$ zwei $m \times n$ Matrizen sind, dann ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, so dass $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• $$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität bezüglich der Addition

• $$A(B + C) = AB + AC$$
• $$(A + B)C = AC + BC$$

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, die mit $A^T$ bezeichnet wird, ist die Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ entsteht.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, so dass $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

• $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
• $$(kA)^T = kA^T$$
• $$(AB)^T = B^T A^T$$
• $$(A^T)^T = A$$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, die mit $I$ bezeichnet wird, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an anderer Stelle.
• Beispiel einer 3x3 Identitätsmatrix:

$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

• Für jede Matrix $A$ gilt $AI = IA = A$.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix $A$, die mit $A^{-1}$ bezeichnet wird, ist die Matrix, so dass $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.
• Eine Matrix, die eine Inverse hat, wird als invertierbar oder regulär bezeichnet. Eine Matrix, die keine Inverse hat, wird als singulär bezeichnet.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird mit det$(A)$ oder $|A|$ bezeichnet.

Eigenschaften

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2-Matrix

• Gegeben: $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$
• det$(A) = ad - bc$

3x3-Matrix

• Gegeben: $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$
• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktorenmatrix (Comatrix)

• Die Kofaktorenmatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Entfernen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ entsteht.

Eigenschaft

• $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: $Ax = b$, wobei

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$

$$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Lektion 18

Kanalkapazität

• Ein Kommunikationssystem besteht aus: Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.
• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Sie wird in Bits pro Kanalnutzung gemessen.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• Die Übergangswahrscheinlichkeiten P(y|x) definieren einen DMC. Dabei ist x das Eingangssymbol und y das Ausgangssymbol.
• Ein DMC ist speicherlos, was bedeutet, dass die aktuelle Ausgabe nur von der aktuellen Eingabe und nicht von vergangenen Ein- oder Ausgaben abhängt.
• Die Kanalkapazität C eines DMC wird durch $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$ gegeben ist.
  • I(X; Y) die gegenseitige Information zwischen Eingabe X und Ausgabe Y ist.
  • p(x) die Eingabewahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Eigenschaften

• C ≥ 0
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$

Beispiele

• Noiseless Binary Channel: C = 1 bit pro Kanalnutzung.

$$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• Noisy Channel with Non-Overlapping Outputs: C = 1 bit pro Kanalnutzung $$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$$.

• Noisy Typewriter: $C = \log a - 1$

• Binary Symmetric Channel (BSC): $C = 1 - H(p)$

• Binary Erasure Channel (BEC): $C = 1 - \alpha$

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass für eine reibungslose Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie des Fluids auftritt.
• Flügel erzeugen Auftrieb, weil die Luft schneller über die Oberfläche des Flügels strömt als darunter, wodurch ein geringerer Druck darüber entsteht.
• Flugzeugflügel haben eine spezielle Form, um den Auftrieb zu maximieren.
• Der Druck ist oben geringer und unten höher.
• Gleichung: $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$
  • V is Fluid flow speed
  • g is Acceleration due to gravity
  • z is Elevation
  • p is Pressure
  • $\rho$ is Density

Exekutivzusammenfassung

• Das Risikobewertungssystem liefert die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment).
• identifizierte Bedrohungen: Phishing, Malware und DDoS-Angriffe.
• entdeckte Schwachstellen: veraltete Software, schwache Konfigurationen und fehlende Netzwerksegmentierung.
• möglicher Einfluss: Datenverlust, Serviceunterbrechung und Rufschädigung.
• Empfehlungen sind die Implementierung von MFA, die Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls, die regelmäßige Aktualisierung von Software, die Stärkung von Passwortrichtlinien und die Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung lateraler Bewegungen.
• Nächste Schritte sind die Durchführung von Penetrationstests, die Entwicklung eines Notfallplans und die Schulung der Mitarbeiter in Fragen der IT-Sicherheit und des Bedrohungsbewusstseins.
• Die PSRA-Bewertung half dabei, wesentliche Risiken für die Sicherheit des Systems zu erkennen, und die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist für unsere Sicherheit von entscheidender Bedeutung.

Reguläre Ausdrücke

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert. Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.
• Reguläre Ausdrücke bestehen aus Literalen Zeichen und Metazeichen.
• Metazeichen sind spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. . * + ? [ ] ( ) | ^ $.
• Zeichenklassen: \d, \D, \w, \W, \s, \S.
• Quantoren: {} werden zum Vergleichen des vorherigen Zeichens genau n Mal, n oder mehrere Male oder mindestens n und höchstens m Mal verwendet.
• Um reguläre Ausdrücke zu testen, können Regex101 oder RegExr verwendet werden.
• Hinweise umfassen, dass reguläre Ausdrücke komplex und schwer lesbar sein können, dass es wichtig ist sicherzustellen, dass sie ordnungsgemäß getestet wurden und dass es viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken gibt.

Die trigonometrischen Funktionen

• Für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel ( \theta ):
• Sinus (sin): ( \sin \theta = \frac{\text{gegenüberliegend}}{\text{Hypotenuse}} )
• Kosinus (cos): ( \cos \theta = \frac{\text{anliegend}}{\text{Hypotenuse}} )
• Tangens (tan): ( \tan \theta = \frac{\text{gegenüberliegend}}{\text{anliegend}} )
• Kehrwerte:
• Kosekans (csc): ( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{gegenüberliegend}} )
• Sekans (sec): ( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{anliegend}} )
• Kotangens (cot): ( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{anliegend}}{\text{gegenüberliegend}} )
• Der Einheitskreis: Auf einem Einheitskreis gemessene Winkel ( \cos \theta, \sin \theta ) geben die Koordinaten an der Schnittstelle des Kreises mit dem Scheitelpunkt des Winkels aus.
• Wichtige trigonometrische Werte sind in einer Tabelle für 0, 30, 45, 60 und 90 Grad aufgeführt.
• Die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus und Tangens) sind grafisch dargestellt, wobei die Periode, die Amplitude, der Definitionsbereich, der Wertebereich und die vertikalen Asymptoten angegeben sind.
• Es werden trigonometrische Identitäten (Pythagoras, Winkelsumme und Winkeldifferenz, Doppelwinkel, halber Winkel) angegeben.
• Eigenschaften und Domänen invers triganometrischen Funktionen,
• Die Sinus- und Kosinussätze geben die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken an.