Matrizen: Definitionen und Vektoren

Matrizen-Definition

• Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema.
• Eine Matrix $A$ wird wie folgt dargestellt:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

• Eine Matrix $A$ hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• Eine Matrix $A$ ist eine $m \times n$ - Matrix.
• Das Element $a_{ij}$ befindet sich in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.

Vektoren als Matrizen

• Ein Spaltenvektor ist eine $m \times 1$ - Matrix, wie folgt:

$\begin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ \vdots \ a_{m1} \end{pmatrix}$

• Ein Zeilenvektor ist eine $1 \times n$ - Matrix, wie folgt:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix}$

Transponierte Matrix

• Die Transponierte $A^T$ einer $m \times n$ - Matrix $A$ ist eine $n \times m$ - Matrix.
• Bei der Transponierten werden Zeilen und Spalten vertauscht.
• Beispiel:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix}$

Quadratische Matrix

• Eine $n \times n$ - Matrix wird als quadratisch bezeichnet.

Diagonalmatrix

• Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix.
• Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind Null.
• Beispiel:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix $I_n$ ist eine $n \times n$ - Diagonalmatrix.
• Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind Eins.
• Beispiel:

$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$