Matrizen: Definitionen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen, die als Elemente der Matrix bezeichnet werden.

Beispiel

• Eine Matrix A wird durch eine Tabelle von Zahlen dargestellt, z. B. $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet, während die Elemente mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes (Zeile und Spalte) gekennzeichnet werden; $a_{23}$ ist das Element in der 2. Zeile und 3. Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird als Anzahl der Zeilen und Spalten angegeben; eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Zwei Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben. Die Addition erfolgt elementweise.
• Für zwei Matrizen $m \times n$, $A$ und $B$, ergibt die Addition $C = A + B$, wobei $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden, wobei die Multiplikation elementweise erfolgt.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, wobei $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten entspricht.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, wobei $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ: $$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität über Addition

• Die Multiplikation ist distributiv über die Addition: $$A(B + C) = AB + AC$$ $$(A + B)C = AC + BC$$

Nicht-Kommutativität

• Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: $$AB \neq BA$$

Transposition

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ gebildet.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, wobei $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften

• Die Transponierung einer Summe ist die Summe der Transponierten: $$(A + B)^T = A^T + B^T$$
• Die Transponierte eines Produkts mit einem Skalar ist das Produkt des Skalars mit der Transponierten: $$(kA)^T = kA^T$$
• Die Transponierte eines Produkts ist das Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge: $$(AB)^T = B^T A^T$$
• Die Transponierte der Transponierten ergibt die ursprüngliche Matrix: $$(A^T)^T = A$$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen überall sonst.
• Beispiel einer 3x3 Identitätsmatrix: $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet, während eine Matrix ohne Inverse als singulär bezeichnet wird.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist ein Skalarwert, der aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird mit det$(A)$ oder $|A|$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Die Determinante der Transponierten ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix: det$(A^T)$ = det$(A)$.
• Die Determinante eines Produkts ist das Produkt der Determinanten: det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$.
• Die Determinante der Inversen ist der Kehrwert der Determinante: det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$.

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

• Für eine 2x2 Matrix $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ gilt: det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

• Für eine 3x3 Matrix $$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$ gilt: det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind. Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Minore (Determinante der Matrix nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte) ist.

Eigenschaft

• Die Inverse einer Matrix lässt sich mit der Kofaktormatrix berechnen:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet werden.
• Ein lineares Gleichungssystem: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$ kann in Matrixform geschrieben werden als: $Ax = b$, wobei A die Koeffizientenmatrix, x der Vektor der Variablen und b der Vektor der Konstanten ist.
• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems gegeben durch $x = A^{-1}b$.

Vorlesung 18: Kanalkapazität

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.
• Der Sender wandelt die Nachricht in eine geeignete Form für die Übertragung über den Kanal um.

Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können, gemessen in Bits pro Kanalbenutzung.
• Ein diskreter speicherloser Kanal (DMC) wird durch Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$ definiert.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität $C$ eines DMC wird durch $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$ gegeben, wobei $I(X; Y)$ die Mutual Information zwischen Eingang $X$ und Ausgang $Y$ ist und $p(x)$ die Eingangswahrscheinlichkeitsverteilung.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• $C \geq 0$: Die Kanalkapazität ist nicht negativ.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: Die Kanalkapazität ist durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt.
• Die Kanalkapazität für verschiedene Arten von Kanälen hängt von den Kanaleigenschaften und der Eingangsverteilung ab.

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

1. Rauschfreier binärer Kanal: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $C = 1$ Bit pro Kanalbenutzung.
2. Rauschkanal mit nicht überlappenden Ausgängen: $p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $C = 1$ Bit pro Kanalbenutzung.
3. Rauschende Schreibmaschine: Für ein Alphabet der Größe $|X| = a$, $C = \log a - 1$.
4. Binärer symmetrischer Kanal (BSC): Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit $p$, $C = 1 - H(p)$, wobei $H(p)$ die binäre Entropiefunktion ist.
5. Binärer Auslöschungskanal (BEC): Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder korrekt mit Wahrscheinlichkeit $1 - \alpha$ übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$ gelöscht wird, $C = 1 - \alpha$.

Bernoullis Prinzip

• Bernoullis Prinzip, entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Flüssigkeitsgeschwindigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie der Flüssigkeit auftritt.
• Flügel erzeugen Auftrieb, indem die Luft schneller über die Flügeloberseite als unter dem Flügel strömt, wodurch ein niedrigerer Druck oben und ein höherer Druck unten entsteht.
• Das Airfoil Design spielt eine Rolle, um den Auftrieb zu maximieren.
• Die Druckverteilung ist niedriger über der Flügeloberseite und höher unter dem Flügel.

Gleichung

• Die Gleichung für Bernoullis Prinzip lautet: $\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$ wobei:
• $V$ ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit,
• $g$ ist die Erdbeschleunigung,
• $z$ ist die Höhe,
• $p$ ist der Druck,
• $\rho$ ist die Dichte.

Executive Summary

Einleitung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment) Risikobewertung des Systems zusammen.

Schlüsselbefunde

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zum Erbeuten von Anmeldeinformationen.
• Malware: Schadsoftware, die die Integrität des Systems gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Dienstunterbrechung durch Sättigung von Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Voreingestellte Kennwörter und lockere Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines unbefugten Eindringens.

Potenzielle Auswirkung

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsminderung

• Implementieren Sie die Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwenden Sie Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachen und filtern Sie den Netzwerkverkehr, um Anomalien zu erkennen.

Schwachstellenbehebung

• Aktualisieren Sie die Software regelmäßig und wenden Sie Sicherheitspatches an.
• Verstärken Sie die Kennwortrichtlinien und die Zugriffskontrolle.
• Segmentieren Sie das Netzwerk, um die laterale Bewegung einzuschränken.

Nächste Schritte

• Führen Sie Penetrationstests durch, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwickeln Sie einen Plan zur Reaktion auf Vorfälle, um die Auswirkungen möglicher Angriffe zu mindern.
• Schulen Sie die Mitarbeiter in Bezug auf Computersicherheit und Bedrohungsbewusstsein.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat es ermöglicht, erhebliche Risiken zu identifizieren, die die Sicherheit des Systems beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert. Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, bearbeiten oder manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus literalen Zeichen (z. B. 'a', 'b', 'c', '1', '2', '3') und Metazeichen (Sonderzeichen mit besonderer Bedeutung, z. B. '.','*','+','?','[]','()','|','^','$').

Metazeichen

• Das '.'-Metazeichen passt auf jedes einzelne Zeichen außer einem Zeilenumbruch.
• Das '*'-Metazeichen passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder mehrere Male.
• Das '+'-Metazeichen passt auf das vorhergehende Zeichen 1 oder mehrere Male.
• Das '?'-Metazeichen passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder 1 Mal.
• '[]' definiert eine Zeichenklasse, die auf jedes Zeichen innerhalb der Klammern passt.
• () gruppiert Ausdrücke.
• '|' stellt eine "oder"-Verknüpfung dar, die auf den Ausdruck vor oder nach dem '|'-Zeichen passt.
• '^' passt auf den Anfang einer Zeichenkette.
• '$' passt auf das Ende einer Zeichenkette.

Zeichenklassen

• '\d' passt auf eine Ziffer (0-9).
• '\D' passt auf ein Zeichen, das keine Ziffer ist.
• '\w' passt auf ein "Wortzeichen" (Buchstaben, Ziffern und Unterstrich).
• '\W' passt auf ein Zeichen, das kein "Wortzeichen" ist.
• '\s' passt auf ein Whitespace-Zeichen (Leerzeichen, Tabulator, Zeilenumbruch usw.).
• '\S' passt auf ein Zeichen, das kein Whitespace-Zeichen ist.

Quantoren

• '{n}' passt auf das vorhergehende Zeichen genau n-mal.
• '{n,}' passt auf das vorhergehende Zeichen n oder mehrere Male.
• '{n,m}' passt auf das vorhergehende Zeichen mindestens n und höchstens m Mal.

Beispiele

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec" usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa" usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa" usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a".
• '[abc]': Passt auf "a", "b" oder "c".
• '[a-z]': Passt auf jeden Kleinbuchstaben.
• '[0-9]': Passt auf jede Ziffer.
• '^abc$': Passt nur auf die Zeichenkette "abc".
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX".

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt, um Text zu suchen und zu ersetzen, Daten zu validieren, Text zu extrahieren oder zu parsen.

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Es ist wichtig, reguläre Ausdrücke sorgfältig zu testen, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken. Die Syntax kann sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• In einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel $\theta$:

• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse:

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$

• Sekant (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$

• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachte einen Einheitskreis (Radius = 1) mit dem Mittelpunkt im Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen Trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel-Summen- und Differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkelidentitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$):
• $y = \sin^{-1} x$ genau dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Inverser Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):
• $y = \cos^{-1} x$ genau dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.
• Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$):
• $y = \tan^{-1} x$ genau dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten gilt:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkel C gegenüber Seite c gilt:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$