Matrizen: Definitionen, Notation und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist ein Zahlenarray.
• Die Zahlen in der Matrix werden Elemente genannt.

Beispiel

• Beispiel einer 3x3 Matrix:

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}

Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente einer Matrix werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes notiert: Der erste Index gibt die Zeile, der zweite die Spalte an.
• Zum Beispiel ist $a_{23}$ das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen und Spalten.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Zwei Matrizen können nur addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ und $B$ zwei $m \times n$ Matrizen sind, dann ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, so dass $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, so dass $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften

Assoziativität

• Aussage: $(AB)C = A(BC)$

Distributivität bezüglich der Addition

• Formeln:
  • $A(B + C) = AB + AC$
  • $(A + B)C = AC + BC$

Nicht-Kommutativität

• Im Allgemeinen gilt: $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, ist die Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ entsteht.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, so dass $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$.

Eigenschaften der Transponierten

• Rechenregeln:
  • $(A + B)^T = A^T + B^T$
  • $(kA)^T = kA^T$
  • $(AB)^T = B^T A^T$
  • $(A^T)^T = A$

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit 1 auf der Diagonale und 0 sonst.
• Beispiel:

I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$.

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die gilt: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen haben eine Inverse.
• Eine Matrix, die eine Inverse hat, wird als invertierbar oder regulär bezeichnet.
• Eine Matrix, die keine Inverse hat, wird als singulär bezeichnet.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Die Determinante einer Matrix $A$ wird als det$(A)$ oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften von Determinanten

• Relevante Beziehungen:
  • det$(A^T)$ = det$(A)$
  • det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
  • det$(A^{-1})$ = 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

• Gegebene Matrix:

A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}

• det$(A) = ad - bc$

3x3 Matrix

• Gegebene Matrix:

A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}

• det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix (Comatrix)

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ entsteht.

Eigenschaften der Kofaktormatrix

• Aussage:

A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Betrachtet man das folgende lineare Gleichungssystem:

\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \\... \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}

• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: $Ax = b$, wobei

A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\... &... &... &... \\
a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn}
\end{bmatrix}

x = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\... \\
x_n
\end{bmatrix}

b = \begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\... \\
b_m
\end{bmatrix}

• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Vorlesung 18

Kanalkapazität

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, einem Sender, einem Kanal, einem Empfänger und einem Ziel.
• Die Kanalkapazität, bezeichnet mit (C), ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können. Sie wird in Bit pro Kanalnutzung gemessen.

Diskreter speicherloser Kanal (DMC)

• In einem DMC wird der Kanal durch eine Menge von Übergangswahrscheinlichkeiten (P(y|x)) definiert, wobei (x) das Eingangssymbol und (y) das Ausgangssymbol ist.
• Der Kanal ist speicherlos, was bedeutet, dass der aktuelle Ausgang nur vom aktuellen Eingang abhängt und nicht von den vorherigen Eingängen oder Ausgängen.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität (C) eines DMC ist gegeben durch:

$C = \max_{p(x)} I(X; Y)$

• wobei:
  • (I(X; Y)) die gegenseitige Information zwischen dem Eingang (X) und dem Ausgang (Y) ist.
  • (p(x)) die Eingangswahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• (C \geq 0): Die Kanalkapazität ist nicht negativ.
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)): Die Kanalkapazität ist durch die Größe des Eingangs- und Ausgangsalphabets begrenzt.

Beispiele zur Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier binärer Kanal

• Gegeben ist eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang immer gleich dem Eingang ist:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen

• Gegeben ist eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang eine deterministische Funktion des Eingangs ist, aber nicht unbedingt gleich:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Fernschreiber

• Für ein Alphabet der Größe (|X| = a) wird jeder Eingang mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf sich selbst und den nächsten Buchstaben abgebildet:

$C = \log a - 1$

Binärer symmetrischer Kanal (BSC)

• Ein binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit (p), bei dem ein Bit mit Wahrscheinlichkeit (p) während der Übertragung gekippt wird.

$C = 1 - H(p)$, wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Löschungskanal (BEC)

• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder mit der Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) korrekt übertragen oder mit der Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird.

$C = 1 - \alpha$

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, das im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli entdeckt wurde, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie der Flüssigkeit einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Flügelfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck über der Flügelfläche.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächenprofil

• Spezielle Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• wobei:
  • $V$ die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit
  • $g$ die Erdbeschleunigung
  • $z$ die Höhe
  • $p$ der Druck
  • $\rho$ die Dichte

Zusammenfassung

Einleitung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA-Risikobewertung (Preliminary System Risk Assessment) des Systems zusammen.

Hauptergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Anmeldedaten.
• Malware: Schadsoftware, die die Systemintegrität gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung von Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Mögliche Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung von sensiblen Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsabwehr

• Implementierung einer Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Schwachstellenbeseitigung

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Verstärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung der lateralen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Notfallplans zur Abschwächung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung der Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA-Bewertung hat die Identifizierung signifikanter Risiken ermöglicht, die die Systemsicherheit beeinträchtigen könnten. Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist von grundlegender Bedeutung für die Stärkung der Sicherheitsposition und den Schutz der Vermögenswerte der Organisation.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus:
  • Literalen Zeichen: z.B. a, b, c, 1, 2, 3
  • Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. ., *, +, ?, [], (), |, ^, $

Metazeichen

Zeichenklassen

Quantoren

Beispiele

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa", usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Sie können verwendet werden, um:
  • Text zu suchen und zu ersetzen
  • Daten zu validieren
  • Text zu extrahieren
  • Text zu parsen

Werkzeuge

• Es gibt viele Online-Tools, um reguläre Ausdrücke zu testen und zu debuggen.
• Beispiele:
  • Regex101: https://regex101.com/
  • RegExr: https://regexr.com/

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Es ist wichtig, reguläre Ausdrücke sorgfältig zu testen, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken. Die Syntax kann sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel $\theta$:
  • Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Cotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachtet man einen Einheitskreis (Radius = 1) mit dem Mittelpunkt im Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen der trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Zeitraum: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Gebiet: $(-\infty, \infty)$
• Reichweite: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Zeitraum: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Gebiet: $(-\infty, \infty)$
• Reichweite: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Zeitraum: $\pi$
• Gebiet: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Reichweite: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkeladdition und Subtraktion Identitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkel-Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

- Inverse Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$): - $y = \sin^{-1} x$ genau dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$. - Inverse Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$): - $y = \cos^{-1} x$ genau dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$. - Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$): - $y = \tan^{-1} x$ genau dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten gilt: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem Winkel C gegenüber der Seite c gilt: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$