Matrix Operations Quiz

Matrix Operations

Matrix Addition

• Two matrices can be added if they have the same dimension (number of rows and columns)
• Addition is element-wise, meaning corresponding elements are added together
• The resulting matrix has the same dimension as the original matrices

Matrix Subtraction

• Similar to matrix addition, but corresponding elements are subtracted instead of added
• The resulting matrix has the same dimension as the original matrices

Matrix Multiplication

• Matrix multiplication is not commutative (A × B ≠ B × A)
• The number of columns in the first matrix must match the number of rows in the second matrix
• The resulting matrix has the same number of rows as the first matrix and the same number of columns as the second matrix
• Multiplication is done by taking the dot product of each row in the first matrix with each column in the second matrix

Matrix Inverse

• The inverse of a matrix A is denoted as A^(-1)
• A^(-1) is a matrix that, when multiplied by A, results in the identity matrix (I)
• Not all matrices have an inverse (e.g. singular matrices)
• The inverse of a matrix can be calculated using various methods (e.g. Gauss-Jordan elimination, LU decomposition)

Determinant Of A Matrix

• The determinant of a matrix is a scalar value that can be used to determine the solvability of a system of linear equations
• The determinant is denoted as |A| or det(A)
• A matrix with a non-zero determinant is invertible
• A matrix with a zero determinant is singular and not invertible
• The determinant can be calculated using various methods (e.g. Laplace expansion, Leibniz formula)

عمليات المصفوفات

إضافة المصفوفات

• يمكن إضافة مصفوفتين إذا كانتا بنفس البعد (عدد الصفوف والcolonmn)
• الإضافة هي عنصرية، أي أن العناصر المقابلة تُضافة معا
• المصفوفة الناتجة لديها نفس البعد مثل المصفوفات الأصلية

طرح المصفوفات

• مشابه لإضافة المصفوفات، لكن العناصر المقابلة تُطرح مكان الإضافة
• المصفوفة الناتجة لديها نفس البعد مثل المصفوفات الأصلية

ضرب المصفوفات

• ضرب المصفوفات ليس تبديليا (A × B ≠ B × A)
• يجب أن يتطابق عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية
• المصفوفة الناتجة لديها نفس عدد صفوف المصفوفة الأولى ونفس عدد أعمدة المصفوفة الثانية
• الضرب يتم بواسطة أخذ المنتج النقطي لكل صف في المصفوفة الأولى مع كل عمود في المصفوفة الثانية

معكوس المصفوفة

• معكوس المصفوفة A يُرمز بواسطة A^(-1)
• A^(-1) هي مصفوفة عندما تُضرب مع A، تصبح المصفوفة الهوية (I)
• ليس كل المصفوفات لديها معكوس (مثل المصفوفات منفردة)
• يمكن حساب معكوس المصفوفة باستخدام طرق مختلفة (مثل إزالة غاوس-جوردان، تفكيك LU)

محدد المصفوفة

• محدد المصفوفة هو قيمة скаляرية يمكن استخدامها لتحديد حل نظام المعادلات الخطية
• المحدد يُرمز بواسطة |A| أو det(A)
• المصفوفة التي لها محدد عدم صفري هي قابلة للعكس
• المصفوفة التي لها محدد صفري هي منفردة وغير قابلة للعكس
• يمكن حساب المحدد باستخدام طرق مختلفة (مثل توسيع لابلاس، صيغة ليبنيتز)

عمليات الماتريس

ضرب الماتريس بالscalar

• عندما يتم ضربه ماتريس بـ_scalar (رقم) فإن الماتريس الجديد سيكون به كل عنصر مضروب بال_scalar
• مثلاً: 2 × [a, b; c, d] = [2a, 2b; 2c, 2d]

جمع الماتريس

• يمكن جمع متين ماتريس إذا كانا لهما نفس الأبعاد (نفس عدد الصفوف والاعمدة)
• مثلاً: [a, b; c, d] + [e, f; g, h] = [a+e, b+f; c+g, d+h]

ضرب الماتريس

• يمكن ضرب متين ماتريس إذا كان عدد الاعمدة في الماتريس الأول يساوي عدد الصفوف في الماتريس الثاني
• الماتريس الناتج سيكون له نفس عدد الصفوف مثل الماتريس الأول ونفس عدد الاعمدة مثل الماتريس الثاني
• مثلاً: [a, b; c, d] × [e, f; g, h] = [ae + bg, af + bh; ce + dg, cf + dh]

транспون兹 الماتريس

• транспون兹 الماتريس يتم الحصول عليها بواسطة تبديل صفوفها واجمدها
• مثلاً: [a, b; c, d]^T = [a, c; b, d]

معكوس الماتريس

• معكوس الماتريس هو ماتريس عندما يتم ضربه بالماتريس الأصلي فينتج عن الماتريس الهوي
• ليس كل الماتريس لها معكوس (مثل الماتريس المفردة)
• مثلاً: [a, b; c, d]^-1 = [d/-Δ, -b/-Δ; -c/-Δ, a/-Δ]، حيث Δ = ad - bc هو المحدد

خواص عمليات الماتريس

• التجميعية: (AB)C = A(BC)
• التوزيعية: A(B + C) = AB + AC
• ضرب Scalar هو تبديلي: a(AB) = (aA)B