Matrix Definitionen und Beispiele

Definition

• Eine Matrix $A$ ist ein rechteckiges Schema von Zahlen oder Elementen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
• Eine $m \times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• Das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte wird als $a_{ij}$ bezeichnet.

Beispiele

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ist eine $2 \times 3$ Matrix.
• $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ist eine $2 \times 2$ Matrix (quadratisch).
• $C = \begin{pmatrix} 7 \ 8 \ 9 \end{pmatrix}$ ist eine $3 \times 1$ Matrix (Spaltenvektor).

Spezielle Matrizen

• Quadratische Matrix: Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten ($m = n$).
• Nullmatrix: Alle Elemente sind null.
• Einheitsmatrix ($I_n$): Quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst.
• Beispiel: $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Diagonalmatrix: Quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale null sind.
• Dreiecksmatrix:
• Obere Dreiecksmatrix: Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale sind null.
• Untere Dreiecksmatrix: Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale sind null.

Matrix Transponieren

• Die Transponierte $A^T$ einer $m \times n$ Matrix $A$ wird erhalten, indem man Zeilen und Spalten vertauscht.
• Wenn $A = (a_{ij})$, dann ist $A^T = (a_{ji})$.
• Beispiel: Wenn $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{pmatrix}$, dann ist $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$.

Matrix Addition und Subtraktion

• Zwei Matrizen $A$ und $B$ können addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Dimension ($m \times n$) haben.
• Die Addition oder Subtraktion erfolgt elementweise.
• $C = A + B \Rightarrow c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• $D = A - B \Rightarrow d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$.
• Beispiel: $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{pmatrix}$

Skalarmultiplikation

• Eine Matrix $A$ kann mit einem Skalar $c$ multipliziert werden, indem jedes Element der Matrix mit $c$ multipliziert wird.
• $B = c \cdot A \Rightarrow b_{ij} = c \cdot a_{ij}$.
• Beispiel: $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{pmatrix}$.

Matrixmultiplikation

• Das Produkt zweier Matrizen $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) ist eine Matrix $C$ ($m \times p$).
• Jedes Element $c_{ij}$ ist das Ergebnis der Multiplikation der $i$-ten Zeile von $A$ mit der $j$-ten Spalte von $B$.
• $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$.
• Beispiel: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$, $C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Rechenregeln für Matrizen

• Assoziativität:
• $(A + B) + C = A + (B + C)$.
• $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$.
• Distributivität:
• $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$.
• $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$.
• Neutrales Element:
• $A + 0 = A$ (0 ist die Nullmatrix).
• $A \cdot I = A$ ($I$ ist die Einheitsmatrix).
• Transponierung:
• $(A + B)^T = A^T + B^T$.
• $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$.
• $(A^T)^T = A$.

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Sie besteht aus m Zeilen und n Spalten, wobei jedes Element durch seine Position definiert ist. Zudem werden spezielle Matrizen wie die Einheitsmatrix betrachtet.