Matrisekalkylregler

• Matrisekalkylregler omfatter operasjoner som multiplikasjon med skalar, addisjon, subtraksjon, matrisemultiplikasjon, transponering og inversmatrise.

Multiplikasjon med skalar

• Hvis $A$ er en $m \times n$ matrise og $k$ er en skalar, så er $kA$ en $m \times n$ matrise der hvert element i $A$ er multiplisert med $k$.
• Eksempel: $2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Addisjon

• Hvis $A$ og $B$ er $m \times n$ matriser, så er $A + B$ en $m \times n$ matrise der elementene er summen av de korresponderende elementene i $A$ og $B$.
• Eksempel: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Subtraksjon

• Hvis $A$ og $B$ er $m \times n$ matriser, så er $A - B$ en $m \times n$ matrise der elementene er differansen av de korresponderende elementene i $A$ og $B$.
• Eksempel: $\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \ 4 & 4 \end{bmatrix}$

Matrisemultiplikasjon

• Hvis $A$ er en $m \times n$ matrise og $B$ er en $n \times p$ matrise, så er $AB$ en $m \times p$ matrise.
• Elementet i rad $i$ og kolonne $j$ i $AB$ er gitt ved: $(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}$
• Eksempel: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}$

Transponering

• Hvis $A$ er en $m \times n$ matrise, så er $A^T$ en $n \times m$ matrise.
• Radene i $A$ tilsvarer kolonnene i $A^T$ og omvendt.
• Eksempel: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Inversmatrise

• Hvis $A$ er en $n \times n$ matrise og det finnes en matrise $A^{-1}$ slik at $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, der $I$ er identitetsmatrisen, så er $A^{-1}$ inversmatrisen til $A$.
• Eksempel: Hvis $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$, så er $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$ fordi $AA^{-1} = A^{-1}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$